La (presque) question du mercredi

[C.Ret]

Pour SHARP PC-1211 et descendants :

Code : Tout sélectionner

1:A=1,B=4
2:PRINT A,B:A=6B-A-2,B=6A-B-2:GOTO 2

Histoire de profiter pleinement de l'afficher LCD de 24 caractères.

[dprtl]

Sinon pour toutes les suites la solution de facilité pour trouver les formules est de mettre les premiers termes dans le moteur de recherche de l'OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), mais pour les challenges sur le forum c'est un peu de la gruge.

C'est bien sur le site de l'OEIS que j'ai trouvé cette formule par récurrence. Les travaux sur les triplets pythagoriciens sont légions, et les auteurs multiples. Désolé

[C.Ret]

A oui, c'est vrai, j'oublie à chaque fois d'aller faire un tour dans cette encyclopédie. Elle sert pourtant à cela.

[Gilles59]

Sinon pour toutes les suites la solution de facilité pour trouver les formules est de mettre les premiers termes dans le moteur de recherche de l'OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), mais pour les challenges sur le forum c'est un peu de la gruge.

C'est bien sur le site de l'OEIS que j'ai trouvé cette formule par récurrence. Les travaux sur les triplets pythagoriciens sont légions, et les auteurs multiples. Désolé

Bon je la met ça dans mes favoris. et dès que j'ai un peu de temps de cerveau disponible, j'essaie de comprendre mdr

[Marge]

Sinon pour toutes les suites la solution de facilité pour trouver les formules est de mettre les premiers termes dans le moteur de recherche de l'OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), mais pour les challenges sur le forum c'est un peu de la gruge.

C'est bien sur le site de l'OEIS que j'ai trouvé cette formule par récurrence. Les travaux sur les triplets pythagoriciens sont légions, et les auteurs multiples. Désolé

Bon je la met ça dans mes favoris. et dès que j'ai un peu de temps de cerveau disponible, j'essaie de comprendre mdr

Oui, c'est un bon endroit où flâner. J'y ai aussi participé (très modestement, et non sans parfois me tromper...).
Mais c'est aussi vrai que c'est tricher que d'y aller pour s'épargner l'effort le plus important.

[C.Ret]

Oui, tricher c'est pas bien, mais gruger c'est je crois toléré ici du fait de l'âge de nos machines…

[Marge]

Oui, tricher c'est pas bien, mais gruger c'est je crois toléré ici du fait de l'âge de nos machines…

Cette opinion exige une meilleure argumentation, mon ami !

- Quelle est la différence entre tricher et gruger ?
- En quoi l'âge des machines, qui ont pour certaines contenu les algorithmes d'arrimage de parties de stations orbitales ou de procédures d'urgence en cas de faillite des instruments de bord (il s'agit de sauver des vies humaines tout de même !), en quoi leur âge, donc, les rendraient handicapées au point que l'on soit obligé d'aller piocher l'algorithme directement dans une base de données, hein ?

[dprtl]

Comme toutes les calculettes de sa génération, la Casio Classpad II permet de calculer la suite OEIS A046090 sans aucune programmation. Plus rare, elle est également capable d'afficher simultanément la courbe et le tableau des valeurs, avec l'écran splitté en deux fenêtres. La mauvaise nouvelle, c'est qu'elle ne fait pas mieux qu'une machine des années 80 sur le nombre maximal de chiffres significatifs de a(n). Je précise que le calcul exact est possible dans d'autres modes de calcul. Par contre, le graphe point par point en mode zoom auto, avec une échelle logarithmique sur l'axe des ordonnées, réserve une petite surprise :



Donc, pour nos vieilles machines, il devrait être assez simple de calculer une approximation de très grands termes de a(n), sans avoir à calculer tous les termes précédents. Il est probable que cette propriété ait déjà été étudiée par quelqu'un... même si ce calcul n'est pas très utile à priori.

[dprtl]

L'alignement auquel je croyais dans le message précédent n'est en fait qu'une illusion d'optique. Peut-être liée à un manque de précision ? La pente de cette fameuse droite sur les log(a(n)) aurait en effet tendance à augmenter avec n (pente à environ 1,612 pour n=10 ; ou à 1,757 pour n=300). Il n'y a donc pas d'équation linéaire cachée derrière les logs.

[gege]

Bonjour,
Je crois que tu as quand même raison sur l'alignement.

Pour que ce soit aligné, il faut que An+1/An tende vers une limite.
Or An+1/An+1 = 6*An/An+1 - An-1/An+1 - 2/An+1
Comme An tend vers l'infini, le dernier terme est négligeable.
Si An+1/An tend vers une limite L, alors An-1/An+1 = An-1/An * An/An+1 tend vers 1/L²
On obtient l'équation du second degré :
1=6/L-1/L²
Soit L²-6L+1=0
La plus grande solution positive étant (6+sqrt(32))/2 = 5.82842
Dont le log népérien est 1.7627, valeur que tu trouves.
Ca marche...

En réfléchissant un peu, on se dit que ce type de calcul est toujours possible quand la relation entre An+1, An et An-1 est linéaire. On obtient donc toujours une droite pour le log de ce genre de suite, dont la pente est le log de la solution d'une équation du second degré...

C'est cool les maths, non ???
G.E.


EDIT : Putentrailles, il y a une forme fermée !!
On peut utiliser la fonction rsolve sur la Prime...
Ou s'apercevoir que :
(1/2) = 6 * (1/2) - (1/2) - 2
Avec
An+2 = 6 * An+1 - An - 2
En soustrayant si on appelle Bn = An - 1/2
Bn+2 = 6 * Bn+1 - Bn
Et ça ressemble à Fibonacci qu'on résoud donnant une "formule de Binet" :
An = ((sqrt(2)-1)/4 * (3+sqrt(8))^n - ((sqrt(2)+1)/4 * (3-sqrt(8))^n + 1/2
Par contre démontrer la formule An+2 = 6 * An+1 - An +2 reste apparemment très compliqué... ?