La question (de géométrie) du dimanche soir

Ici, on fait dans le petit, le LCD qui déchire sa race, on y cause même calculatrices quand on est en manque !

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 10:18

Je vais donc commencer à distiller les solutions en commençant par donner un second indice:


Dans un carré ABCD, le sommet C est l'image du sommet A par une rotation de 90° par rapport au sommet B.
QDD geo fig.1.gif
QDD geo fig.1.gif (13.62 Kio) Consulté 3350 fois

Bon, vous aller me dire que c'est vrai aussi pour les autres sommets du même carré. Pris deux à deux chaque sommet est l'image de son vis à vis par la rotation d'un des sommets intermédiaire. Rotations effectuées dans un sens (sens trigonométrique / anti-horaire) ou dans l'autre (sens horaire).

D'ailleurs comment vont faire les générations à venir, nos gamins ne portent plus de montre avec aiguilles, ils consultent l'heure sur l'affichage numérique de leur smart'. Mais ce n'est pas le sujet ici.

Je m'intéresse sciemment aux sommets A B et C car se sont les trois points qui vont me permettre de tracer le carré en fonction de leur distance avec le point E.

Mais je ne sais pas où sont ces sommets et même s'ils vont permettrent de former un carré et si ce carré contiendra bel et bien le point E !!
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 05 mai 2019 10:24

C.Ret a écrit :
05 mai 2019 10:18
Mais je ne sais pas où sont ces sommets et même s'ils vont permettrent de former un carré et si ce carré contiendra bel et bien le point E !!
Quel suspense ! Je suis confortablement installé dans mon fauteuil avec mon café et j'attends la suite avec autant d'impatience que pour le prochain épisode de GOT :)

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 10:53

En résumé, au début ce nouvel épisode, je ne sais pas grand chose. Je ne sais pas si les points A B et C formeront en s'alliant au point D un carré et si le point E sera à l'intérieur.

Je sais seulement que le point E est respectivement à 3 4 et 5 des points A B et C.
Ce qui revient à dire que les points A b et C sont respectivement sur les cercles C3 C4 et C5 de rayon respectifs 3 4 et 5 et partageant le même centre E:
QDD geo fig.2.gif
QDD geo fig.2.gif (8.56 Kio) Consulté 3346 fois
Comme B est le centre de rotation qui me permettra de déterminer C en fonction de A (ou réciproquement A en fonction de C), je prends le risque de le placer sur la figure.

Le point B est quelque part sur le cercle C4 à une distance de 4 unité de E. Comme c'est plus pratique j'ai dessiner un segment horizontal. Figure de style.

C'est bien, mais les positions de A et C restent encore à déterminer.

Pour cela je vais faire intervenir, comme dans Game Of Trones un dragon.

Image
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Marge » 05 mai 2019 12:55

La suite, la suite !!
3 hommes, 3 demis, un 3a... Magnéto, Serge !

« Boris », c'est juste Maurice enrhumé.

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 05 mai 2019 13:07

C.Ret a écrit :
05 mai 2019 10:53
Pour cela je vais faire intervenir, comme dans Game Of Trones un dragon.
Dracarys !

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 13:15

zpalm a écrit :
05 mai 2019 13:07
Dracarys !
Non! Un proche cousin dans sa très Noble Lignée : Quadratum Beta Rotatys
Dans la série GoT on en parle très peu, les auteurs ont voulu cacher cette branche de la lignée , certainement à cause de ses accointances avec un dieu gaulois par Toutatis.

On sait que les points A et C sont respectivement sur les cercle C5 et C3 . Mais où ?

Déterminons la position du point E' par une rotation de 90° (dans le sens anti-horaire sur ma figure) du point E, rotation ayant pour axe le point B, point qui est la clef de voute de cette construction mais aussi du futur carré ABCD.
QDD geo fig.3.gif
QDD geo fig.3.gif (8.05 Kio) Consulté 3331 fois
Le point E' est le centre d'un cercle C'3 obtenu par la même rotation (dans le même sens) de 90° autour du point B.

La rotation conservant les distances, le rayon de ce nouveau cercle est identique à celui de C3. tout point du cercle C3 a son image sur le cercle C'3. Et réciproquement, tout points du cercle C'3 possède un point origine sur C3. Comme pour le carré dans le post contenant mon dernier indice, les points images et origines forment avec le point B un angle droit et sont distant d'une même distance correspondant à l'arrête du carré dont ils marquent la fondation.
QDD geo fig.4.gif
QDD geo fig.4.gif (9.52 Kio) Consulté 3326 fois

Il est temps maintenant de s'inquiéter des lieux où le point A peut siéger.
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 13:26

Excellent ;D

Bon j'ai les solutions numériques et exactes sur la HP50 avec une démarche analytique. J'essaie pour la première fois l'application "géométrie" de la Prime sur la base des explications de C.RET. J'en suis là :

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 13:37

C'est pas mal Gilles !

Mais là tu peux continuer avec le point A et tu déterminera C et D. Mais on n'a pas d'information sur D. Je te conseille de faire comme moi est de commencer avec le point B, clef de voûte de la construction du carré et centre bien pratique pour les rotations.
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 14:15

C.Ret a écrit :
05 mai 2019 13:37
C'est pas mal Gilles !

Mais là tu peux continuer avec le point A et tu déterminera C et D. Mais on n'a pas d'information sur D. Je te conseille de faire comme moi est de commencer avec le point B, clef de voûte de la construction du carré et centre bien pratique pour les rotations.
OK. Je te te laisse avancer pour pas polluer le topic :D
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 15:17

Pas de souci, Gilles, tes interventions sont les bien venue. Je n'avais pas vu ta figure avec le point image E'.

Je vais message par message justement pour laisser s'insérer des remarques questions et commentaires.


Donc nous étions à trouver les lieux possibles pour le point A.
Nous savons que ce point est à une de distance de 5 du point E : A est donc sur le cercle C5
Nous savons que le point A est l'image du point C par la rotation d'angle 90° par rapport au sommet B : A est donc sur le cercle C'3

D'après la dernière figure, il y a donc deux lieux possibles pour A, il s'agit des deux interceptions entre les cercles C5 et C'3.

Et oui, tout simplement.

(Je me rends compte que j'ai posté une bêtise hier, sur le CASIO CP400-E, il doit bien y avoir un moyen de trouver les interceptions entre deux cercles ??)

D'où la figure suivante; où je note A et A" les points d'interception respectivement éloignés et proches du point B
QDD geo fig.5.gif
QDD geo fig.5.gif (9.95 Kio) Consulté 3308 fois
Sur ma figure, il est clair que le point A formera l'arrête d'un plus grand carré ABCD alors que le point A" formera un carré A"BC"D" plus petit et qui n'a visiblement aucune chance de contenir le point E.

Il nous reste alors à trouver le point C.

Pour cela, il suffit simplement d'appliquer au point A la rotation toujours autour du point B B d'un angle de 90° mais dans le sens inverse. Comme A est sur le cercle C'3, son origine par rotation est sur le cercle C3, c'est à dire à 3 unités de distance du point E.
Dep plus, l'angle A^B^C est un angle droite et les segments AB et BC sont les deux premières arrêtes d'un carré contenant le point E.

Le point image/origine de A par la rotation selon B est donc bien le point C recherché.

Si nous avons construit notre figure avec soin, les distances d(A,B) ou d(B,C) nous donnent une première estimation de la taille du carré.
QDD geo fig.6.gif
QDD geo fig.6.gif (14.44 Kio) Consulté 3308 fois

Il nous reste à déterminer la position du point D, dernier sommet du carré.
Dernière édition par C.Ret le 05 mai 2019 16:48, édité 1 fois.
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 05 mai 2019 16:25

C.Ret a écrit :
05 mai 2019 15:17
D'après la dernière figure, il y a donc deux lieux possibles pour A, il s'agit des deux interceptions entre les cercles C5 et C'3.

Et oui, tout simplement.
Excellent ! Je ne l'ai pas vu venir, il m'a fallu reprendre la démonstration au début pour comprendre. J'adore les démonstrations géométriques comme celle-ci, mais je n'y étais pas du tout. La bonne idée c'est de partir du point E pour construire le carré, alors que je cherchais à trouver E en partant du carré.

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 16:33

Je ne détaillerai pas la construction du dernier sommet D qui permet de tracer le carré ABCD. Il existe plusieurs méthodes toutes liée aux nombreuses propriétés d'un carrée. celle que je préfère ici est celle des droites parallèles aux arrête AB et BC puisque ces trois points sont déjà placés.

J'obtiens alors la figure suivante qui me permet d'ailleurs de trouver une valeur approximative pour la distance d(E,D); Je dis approximative car j'ai tracé tout cela avec soin mais sur une serviette en papier épais sur un coin d'une des tables rondes au sous-sol Des Spectacles.
QDD geo fig.8.gif
QDD geo fig.8.gif (22.62 Kio) Consulté 3302 fois
J'utilise la même construction pour le "petit" carré" issu du point A".

Je constate alors que les distances entre le point E et les quatre sommets des carrés sont bien identiques.
QDD geo fig.8b.gif
QDD geo fig.8b.gif (17.44 Kio) Consulté 3302 fois
Il existe d'autres carrés que l'on peut construire à l'aide du Toutanis Quadradum Beta Rotatis en particulier en effectuant la rotation du cercle C5, on détermine les lieux possibles pour C' et il en découle d'autres petit ou grand carrés.


Voilà qui termine la première partie de mon exposé; celle qui visait à vérifier qu'un tel carré existe et comment le construire.

Il nous reste maintenant à trouver comment arriver, un peu comme Gilles est en train de la faire à ceci :
QDD geo fig.9.gif
QDD geo fig.9.gif (33.53 Kio) Consulté 3302 fois
Dernière édition par C.Ret le 05 mai 2019 16:51, édité 1 fois.
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 16:39

zpalm a écrit :
05 mai 2019 16:25
[…] La bonne idée c'est de partir du point E pour construire le carré, alors que je cherchais à trouver E en partant du carré.
zpalm, nous avons des fonctionnement internes qui se ressembles étrangement. Je n'ai pas du tout vu la bonne idée au premier abord. Comme toi , j'ai commencé en partant du carré et même par tâtonnements successifs:

J'avais volontairement construit trois points d'intersection E, un point pour chaque couple des cercles de rayon 3, 4 et 5. Puis en modifiant la taille du carré, j'ai cherché à superposer au mieux les trois incarnations de E.

En cela, les géomatrices aident bien. Qu'elles soit de poche ou sur l'écran de mon ordinateur de bureau.

Mais je n'avais alors pas vu qu'il existait des carrés où le point E est aux distances demandées des sommets tout en étant à l'extérieur du carré.
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 17:04

Bravo C.RET !

Cela m'a permis d'utiliser l'application "géométrie" de la Prime en suivant tes explications très bien présentées ;D

L'application est très bien faite quand on a compris sa logique. Juste une un chose dommage, comme les variable A..Z sont réservées, il vaut mieux ne pas les utiliser comme noms d'objets géométrique, même si la Prime ne l'empêche pas. Voilà ce que çà donne :

Image

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Image

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A noter la petite astuce quand on cherche le point A (GA ici) : Ca renvoit une liste de deux points comme C.Ret l'explique. Il faut sélectionner le bon (ici le second) en faisant : (inter(C5,C3p))(2) c'est à dire : prend le second point correspondant l'intersection des cercles 'C5' et 'C3p'

En mettant à la place (inter(C5,C3p))(1) on trouve l'autre solution 'externe' avec le graphique posté par c.Ret
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 17:19

Voila ma solution 'numérique' pour la HP50g sous la forme d'une petite vidéo…

https://youtu.be/Jf9FPy79Qkg

La solution 'exacte' n'est pas très différente, elle change juste au moment de résoudre le système d'équation. Je la poste un peu plus tard.

PS : Le mode RPN reste de très loin le plus efficace pour une utilisation interactive…
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