La question (de géométrie) du dimanche soir

Ici, on fait dans le petit, le LCD qui déchire sa race, on y cause même calculatrices quand on est en manque !

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zpalm
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 05 mai 2019 17:34

Gilles59 a écrit :
05 mai 2019 17:19
Voila ma solution 'numérique' pour la HP50g sous la forme d'une petite vidéo…
Intéressant, j'ai utilisé une méthode différente pour trouver la solution numérique.

Merci C.Ret pour cette question du dimanche soir qui m'a permis de sortir la HP Prime et d'utiliser ses applications intégrées. :D

Image

Voici ma méthode: on connaît deux triangles (ABE et EBC), donc il faut trouver deux formules avec 2 inconnues. On a déjà 'a' comme inconnue, une autre inconnue commune aux deux triangles est l’angle en B.

On utilise alors la formule d'Al-Kashi, ou loi des cosinus avec 3 côtés et un angle :

Image

b^2 = a^2 + c^2 -2.a.c.COS(B)

Si on l’applique au triangle (ABE), on obtient : 5^2 = a^2 +4^2 -2*4*a*COS(B)
Soit : a^2 -8*a*COS(B) -9 =0

Et pour le triangle (ECB), on obtient : 3^2 = a^2 +4^2 -2*4*a*COS(90-B)
Soit : a^2 -8*a*SIN(B) +7 =0

Dans l’application Solve de la HP Prime on rentre les deux équations :

Image

En partant, en mode degré, des valeurs initiales 1 pour A et 90 pour B (E à l’extérieur du carré: a est petit et l’angle est grand) on obtient A= 1.42596299142 et B~=127°

Image

Avec comme valeurs initiales 10 pour A et 1 pour B (E à l’intérieur du carré: a est grand et l’angle est petit) on obtient A= 5.65390392093 et B~=59°

Image

On trace alors la figure avec l’application Géométrie de la HP Prime (en ayant la solution intérieure résolue dans l’application Solve) :

Dans la vue Symb :
  • On définit les 4 sommets du carré (A,B,C,D) en fonction de A,
  • Le point E comme l’intersection du cercle de centre A et de rayon 5, et du cercle de centre B et de rayon 4
  • On trace le carré ABCD
    Image
  • Puis les segments AE, BE et CE et les cercles de centre A, rayon 5, de centre B, rayon 4 et de centre C, rayon 3
    Image
Dans la vue Num :
  • On mesure les distances AB (pour a) et DE, ainsi que les segments AE, BE et CE (pour contrôler le résultat)
    Image
Dans la vue Plot :
  • On obtient la figure et les mesures, on peut vérifier que le point E est bien à l'intersection des trois cercles.
    Image
  • Si on revient dans l’application Solve pour obtenir A= 1.42596299142 (point à l’extérieur du carré) alors la figure dans l’application géométrie est automatiquement mise à jour:
    Image
  • On peut voir que la distance de D à E est restée constante.

Gilles59
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 17:41

zpalm a écrit :
05 mai 2019 17:34
Dans la vue Plot :
  • On obtient la figure et les mesures, on peut vérifier que le point E est bien à l'intersection des trois cercles.
    Image
  • Si on revient dans l’application Solve pour obtenir A= 1.42596299142 (point à l’extérieur du carré) alors la figure dans l’application géométrie est automatiquement mise à jour:
    Image
  • On peut voir que la distance de D à E est restée constante.
Merci ! Comment fais-tu pour afficher les distances dans la vue plot (sur les segments et en haut)? Je voulais le faire mais je n'ai pas trouvé.

J'ai aussi essayé d'utilisé A,B,C,D au lieu de GA GA GC GD, la syntaxe passe mais ça ne fonctionne pas bien ensuite. Il faut dire aussi que je n'ai pas mis à jour le firmware depuis un moment...
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 05 mai 2019 17:46

Gilles59 a écrit :
05 mai 2019 17:41
Merci ! Comment fais-tu pour afficher les distances dans la vue plot (sur les segments et en haut)? Je voulais le faire mais je n'ai pas trouvé.
J'ai rusé en nommant les segments G5, G4, G3...
Et pour en haut ça se fait à partir de la vue Num.
Dernière édition par zpalm le 05 mai 2019 17:52, édité 1 fois.

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 17:49

Pour la résolution "exacte", c'est ici… Mais il faut voir avant la première vidéo pour comprendre :


Voir Partie -2- Résolution 'exacte' ici : https://youtu.be/9mB1JSq7Psg
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par gege » 05 mai 2019 18:19

Bonjour,
Oulà c'est compliqué !
Un copain m'a montré une méthode simple :
Image
a²+c²=5²
b²+c²=4²
b²+d²=3²
a²+d²=x²
On prend la 1 - la 2 + la 3 - la 4
ça donne : 5²-4²+3²-x²=0
Donc x²=18
CQFD

Edit : toutes les machines que je connais capables de géométrie font les intersections de cercles.

G.E.

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 18:48

Excellant tout cela.


Oui oui gégé, j'y arrive à la résolution feuille papier crayon HB ! Car comme pour la distance d = d(E,D), on peut trouver x, y et a facilement en utilisant les bonne équations.

La vidéo de Gilles est très bien. Je ne sais pas faire de telle vidéo pour le moment, mais je vais donner ci-dessous ma façon de faire pour résoudre le problème de façon purement symbolique.

Une fois le problème posé noir sur blanc (en fait gris crayon HB sur papier 5x5 recyclé gris très très clair), j'ai utilisé, comme zpalm, l'application de résolution de l' HP Prime pour obtenir rapidement les valeurs numériques puis son CAS pour la résolution formelle.


Comme l'on fait Gilles et zpalm, j'ai aligné le carré ABCD avec le repère cartésien autonormé de façon à avoir les coordonnées des point A,B,E,D et les plus simples:

Code : Tout sélectionner

A(0,0)	B(A,0)	C(A,A)	D(0,A)	E(X,Y)
Ensuite, toujours par soucis de simplicité, j'ai comme pour la construction géométrique utilisé trois cercles de rayons respectifs 3, 4 et 5. Mais cette fois, je les trace passant par E et ayant pour origine respectivement les sommets A B et C du carré. Pour ne pas les confondre avec les précèdent je les appellerai S3 S4 et S5 car se sont des cercles passant par les sommets du carré.
QDD geo fig.10.gif
QDD geo fig.10.gif (46.16 Kio) Consulté 3579 fois



Le point E(x,y) appartient simultanément aux trois cercles S3, S4 et S5, ses coordonnées sont donc solution du système d'équation non linéaires suivant:


Ce système admet au moins une solution car la construction géométrique a démontrée qu'il existe un point E à l'intérieur du carré ABCD.
sys-eq123.gif
sys-eq123.gif (1.97 Kio) Consulté 3578 fois
Notons que contrairement à Gilles, je ne fais pas apparaitre de racine carrée. Et que contrairement à zpalm je n'utilise pas de fonction trigonométrique. Mais nos trois systèmes sont certainement équivalent.


Et comme vient de le faire remarquer gégé, ce système est très simple à résoudre. En soustrayant astucieusement les eqA, eqB ou eqC, on va obtenir facilement les expressions de x et y en fonction de a.

Il suffira alors de substituer x et ydans l'une des équations pour obtenir une équation qui ne contient que a .

Notons qu'à cette étape, on peut obtenir facilement les valeur numérique avec l'application SOLVE de l'HP Prime. C'est exactement comme ce que fait Gilles dans sa vidéo, en plus simple, car il suffit d'entrer dans la partie SYMB les trois équation eq1 eq2 et eq3 et de les cocher. Puis dans la partie NUM on entre, comme l'a fait Gilles une approximation numérique pour X Y et A (sinon c'est les valeur qui étaient présentent dans ces trois variable globales qui est utilisé). On touche SOLVE et hop les trois valeurs s'affichent.

Si en plus, on avait donné aux coordonnées des points les variables X Y et A dans l'application de géométrie, on voit s'afficher dans l'écran PLOT le résultat.
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par gege » 05 mai 2019 18:59

Bonjour,
En effet et c'est la "voie naturelle", le copain qui m'a montré sa solution a trouvé un truc vraiment élégant !
Sinon pour l'angle droit j'ai une façon de le mettre en évidence :
Image
Cette énigme était super cool !
G.E.

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Marge » 05 mai 2019 19:21

Ah ! ce fut rude. Je ne suis pas bon en maths, c'est connu, mais j'aime cette activité qui permet de faire fonctionner mes neurones sans trop penser au sort de cette pauvre planète.
J'ai des lacunes, je dois réviser à chaque nouveau défi, et je ne suis pas dépourvu de ces manies qui me font sur le métier remettre cent fois l'ouvrage.

LE CAS RET

Dimanche dernier 28 avril, C.Ret nous fournit une énigme parmi celles que j'affectionne, les géométriques, et je décidai d'écrire mon cheminement erratique ce 1er mai, jour de la fête du Travail. Au commencement était...Image<-- ... l'illustration du problème.

Si un carré ABCD est constructible à partir des seules données EA, EB et EC, il doit, comme le précise l'énoncé, avoir approximativement cette tête (au carré). J'ajoutai deux droites perpendiculaires, verticale et horizontale, passant par E, permettant de définir v, w, x et y, composantes du côté a.

Pythagore et son té aux rênes me permirent de constater que :
  • 25=y²+x² => x²=25-y²
  • 16=y²+w² => y²=16-w²
  • 9=v²+w² => v²=9-w²


D'où :
  • z²=9-w²+25-y² => z²=9-w²+25+w²-16


Alors, les w s'éliminant :
  • z²=v²+x²=18 => z= √18 = 3.√2


Tout cela était bel et bon, nous tenions le quatrième segment reliant E et A, mais comment calculer a, le côté du carré indispensable pour le tracé ?

PREMIÈRE FAUSSE PISTE !

J'eus un éclair de génie sans bouillir (*), ce qui me valut une première déconvenue : "Et s'il suffisait de calculer les aires des rectangles (obtenus en doublant par symétrie les triangles inscrits dans le carré), de les diviser par 2 pour revenir aux triangles, de les additionner pour obtenir l'aire du carré et d'enfin prendre la racine de ce résultat pour aboutir au côté a ? " me suis-je dit ; et me voilà calculant :
  • a = √[(5*4/2)+(3*4/2)+(3*3√2/2)+(5*3√2/2)]
c'est-à-dire la racine carrée de la somme des aires des triangles ; le résultat est plausible : à partir de ce raisonnement, a = 5,74199 98910 2...

Hélas, une première tentative de construction du carré, avec des cercles concentriques autour de E représentant par ordre croissant les possibilités de placement des points C, B, D et A ne pouvait que me décevoir (cliquons sur la figure 2 pour estimer l'ampleur des dégâts) :

Image

Ce que j'obtenais ressemblait davantage à du Picasso ou du Buffet (qu'ils m'excusent) qu'à un beau carré. La raison devait m'en venir un peu plus tard : les triangles qui forment le carré ne sont pas des triangles rectangles ! ils sont quelconques, et leurs aires sont uniquement calculables par la mesure de leurs hauteurs (selon la formule BASE x HAUTEUR / 2). Je passais de longues minutes de la journée suivante à tenter d'autres méthodes, hésitant à me lancer dans des calculs trigonométriques que je maîtrise difficilement. Puis la nuit venue, il me vint une idée.

(*) : Trouvez l'âge du capitaine.


DEUXIÈME FAUSSE PISTE ?

"Et si..." songeai-je vers les quatre heures du matin, "et si les quatre segments liant le point E et les sommets du carré pouvaient former une moyenne ?" ; j'allumai aussitôt le téléphone, activai la merveilleuse application Free42 et réalisai rapidement et sans simplification le calcul :
  • a = √([(3+4+5+3√2)/4]²+[(3+4+5+3√2)/4]²)
J'obtenais 5,74264 06871 2... pas très loin du résultat précédent ! Allais-je aboutir à la même œuvre d'art ?

Ici, je dois m'arrêter pour vous faire toucher du doigt ce qui me fascine dans les mathématiques : non pas le calcul roboratif, ni les simplifications attendues qui, pour élégantes qu'elles soient, masquent le raisonnement ; non, ce qui me plaît, c'est la fulgurance de l'intuition. Il n'y a rien de plus enthousiasmant que de constater la disparition soudaine des contraintes, de sentir tous les horizons s'éclaircir et vous envoyer leurs effluves, rien de comparable à l'excitation d'imaginer soudain la solution à portée de main, sinon celle que peut sentir un marin à l'approche de la terre au sortir du Pot-au-Noir. Je n'exagère pas.

Je devais vérifier cela à nouveau. J'étais inquiet, me demandant si ce résultat légèrement supérieur allait engendrer une figure encore moins satisfaisante (cliquons derechef sur la figure 3 pour nous faire mal) :

Image

La même déception m'attendait, le dernier segment que je ne traçais même pas était plus court que les précédents, quel que fût le sens de la construction. La conclusion provisoire que je devais en tirer : la moyenne, pas plus que les fausses aires, ne permettait d'atteindre le but ! L'intuition est-elle toujours trompeuse ? En l'occurrence, elle m'avait déçu.

Il me fallait étudier le problème autrement.

Il n'était pas question que je m'étourdisse à mesurer des hauteurs pour les triangles inscrits : j'avais bien un moment tâtonné dans cette direction, mais le nombre des équations résultantes m'avait paru décourageant. En désespoir de cause je m'attelai à la résolution angulaire de l'énigme.

LA SOLUTION EST DANS LE BOUILLON

Du point de vue trigonométrique, il semblait que trouver la longueur du côté a pût être résolu simplement avec les données dont on disposait à l'énoncé : les deux triangles AEB et BEC et les trois longueurs 5, 4 et 3. C'était le fait d'avoir affaire à un angle droit (le point B) qui permettait d'avoir, intuitivement, cette certitude. Mais cette intuition était-elle sûre ?
Il n'y avait pas d'autre moyen que de la vérifier par le calcul et plus précisément, par la mise en forme algébrique de cet aspect du problème. Je noircissais quelques feuillets de croquis et formules dans le but de poser de beaux systèmes d'équations qui, les salopards, aboutissaient immanquablement à des solutions du type 3 = 3, ce qui ne permettait même pas de dessiner la tête à Toto. J'étais découragé.

Entretemps, un heureux candidat avait soufflé un indice sur le forum : Gilles59 prétendait avoir résolu le problème au moyen des vecteurs. Je me demandai s'il parlait bien de résoudre le problème de la longueur du côté a et non seulement celui de la longueur (D,E), ce qui montre assez mon ignorance de cette catégorie des mathématiques. Je ne me décidais pas à emprunter cette voie mais, intrigué, j'avisai un ouvrage de ma bibliothèque que je n'avais guère ouvert jusque là, le Manuel d'Applications des calculateurs HP-19C/29C...

Image

On y parlait des vecteurs, mais je passai rapidement ces passages pour aborder avec intérêt le chapitre consacré à la Trigonométrie et à la Géométrie Analytique ; j'y trouvai une formule que je cherchais, sans doute, sans le savoir : j'avais en effet songé à résoudre ce deuxième problème à partir du constat que les quatre angles formés au sommet E comptent nécessairement 360 degrés, mais n'avais encore rien écrit dans ce sens. Or, la formule dite "SSS" (pour l'anglais Side-Side-Side) s'appliquait merveilleusement au problème :
A1 = acos [(S1² + S2² - S3²) / (2 x S1 x S2)]

avec S3, le fameux a, mon Arlésienne, au numérateur.
Posant le livre, j'écrivis rapidement le système :
  • γ = acos [(25+16-a²)/40]
  • γ' = acos [(16+9-a²)/24]
  • γ'' = acos [(9+18-a²)/18√2]
  • γ''' = acos [(18+25-a²)/30√2]
où γ+γ'+γ''+γ''' = 360 °.


Mes compétences, hélas, ne pouvaient me permettre de le résoudre : comment sortir le "a" ? devais-je encore noircir moultes pages et perdre un temps précieux ? Ah... oui, je pouvais dire que je ramais ! J'en étais à me demander si l'eau coulait dans le bateau, ou si le bateau coulait dans l'eau !
Et l'échéance approchait ; le brillant zpalm, expert en tubulures mathématiques, avait commencé à s'intéresser au problème ! Je devais trouver... LA SOLUTION !








La solution ? Le mot me rappelait mes souvenirs de chimie en seconde : la solution... aqueuse ? Le problème me fatiguait. Quand soudain...



















Image






UNE LICORNE ME SOUFFLA LA SOLUTION

La solution consistait à utiliser la puissance d'un calculateur pour tester différentes valeurs de a aboutissant à l'annulation de la formule ! C'était, je le lui dis, « un peu grossier », mais elle ne me répondit rien ; il s'agissait après tout d'obtenir un résultat ! Je traçai le logigramme ci-dessus : la machine devait elle-même s'approcher de la solution en fonction d'un pas modifiable en valeur et en sens et à un degré de précision suffisant pour obtenir un tracé convenable du carré. Je passais la soirée du 2 mai à élaborer ce schéma de l'algorithme. Deux machines et leurs batteries s'offraient à moi : l'HP-29c de mes études et l'HP-15c LE de mon bureau. Dans la foulée, j'entrai sans erreur le programme pour la seconde ; plus rapide, plus spacieuse et me moquant de son bogue de la pause inexistante, j'assistai ébahi au calcul dont le témoignage était ce running, running, running... une dizaine de fois, puis à l'affichage victorieux du résultat obtenu en moins de sept secondes en partant de la valeur 5 pour aboutir à 5,65390 3923 ! Je pouvais tracer mon schéma !




Image



« La satisfaction intérieure est en vérité ce que nous pouvons espérer de plus grand. »
Spinoza



Voici le programme pour HP-15c (LE) ; il est grossier, peu importe. Il démontre que lorsque l'algorithme est correct et schématisé, le programme vient plus facilement.

Code : Tout sélectionner

001     42.21.11	LBL A
002	   43  7	DEG
003	   42 34	f REG
004	      48	.
005	       1	1
006	   44 00	STO 0	'Pas'
007	      26	EEX
008	       8	8
009	      10	/
010	   44  9	STO 9	'Précision'
011	42. 7. 9	FIX 9	'Format Affich.'
012	      31	R/S	'Entrée N'
013	42.21.12	LBL B
014	   43 11	x²
015	   44  1	STO 1	'R1²'
016	       4	4	'Calcul'
017	       1	1
018	      36	ENTER
019	   45  1	RCL 1
020	      30	-
021	       4	4
022	       0	0
023	      10	/
024	   43 24	acos
025	       2        2
026	       5	5
027	      36	ENTER
028	   45  1	RCL 1
029	      30	-
030	       2	2
031	       4	4
032	      10	/
033	   43 24	acos
034	      40	+
035	       2	2
036	       7	7
037	      36	ENTER
038	   45  1	RCL 1
039	      30	-
040	       2	2
041	      11	SQR
042	       1	1
043	       8	8
044	      20	*
045	      10	/
046	   43 24	acos
047	      40	+
048	       4	4
049	       3	3
050	      36	ENTER
051	   45  1	RCL 1
052	      30	-
053	       2	2
054	      11	SQR
055	       3	3
056	       0	0
057	      20	*
058	      10	/
059	   43 24	acos
060	      40	+
061	       3	3
062	       6	6
063	       0	0
064	      30	-	'Fin calcul'
065	   44  3	STO 3
066	   43 20	x=0?	'Sait-on jamais...'
067	   22 15	GTO E
068	   45  2	RCL 2
069	   43 20	x=0?	'Pas de comparaison...
070	   22 13	GTO C	'... possible.'
071	   45 03	RCL 3
072	   43 16	ABS
073	   44  4	STO 4
074	   45  2	RCL 2
075	   45  4	RCL 4
076	   43 10	x<=y?	'R4<=R2?'
077	   22 14	GTO D
078	   45  0	RCL 0	'Change le pas.'
079	      16	CHS
080	       2	2
081	      10	/
082	   44  0	STO 0
083	   22 13	GTO C
084	42 21 14	LBL D	'Test de précision.'
085	   45  9	RCL 9
086	      36	ENTER
087	   45  2	RCL 2
088	   45  4	RCL 4
089	      30	-
090	   43 10	x<=y?	'Précision atteinte.'
091	   22 15	GTO E
092	   22 13	GTO C
093	42 21 15	LBL E	'Fin.'
094	   45 01	RCL 1
095	      11	SQR	'Affichage a."
096	   43 32	RTN	
097	42 21 13	LBL C	'Incrémentation.'
098	   45 03	RCL 3
099	   43 16	ABS
100	   44  2	STO 2
101	   45  1	RCL 1
102	      11	SQR
103	   45  0	RCL 0
104	      40	+
105	   44  1	STO 1
106	   22 12	GTO B	'Reprend la boucle avant calcul'
En entrant la valeur 5, le programme boucle quatre-vingt-deux fois avant de donner le résultat 5,653903923...
R0 (le pas) vaut à la fin 5,960464.10^-09. Il convient de se méfier des deux dernières décimales.



Un grand merci à C.Ret pour ce divertissement !



L'illustration du Robinson dialoguant avec la licorne provient du premier album de Fred daté de 1972 : Philémon et le naufragé du A, dont je recommande chaudement la lecture.

Aujourd'hui, je ne comprends toujours pas pourquoi la méthode de la moyenne ne fonctionne pas : la rigueur de cette idée a séduit mon intuition et ma raison peine à déterminer mon erreur ! Je ne crois pas qu'il s'agisse d'une difficulté de moyenne pondérée ou non, je ne vois d'ailleurs pas pourquoi il faudrait pondérer quoi que ce soit. Peut-être, à défaut d'utiliser la moyenne, doit-on utiliser la médiane ? Une idée folle ? C'est à creuser. Quelle aventure !


J'édite ce dimanche ce message pour vous dire que laisser une semaine de répit avant la publication des solutions me semble vraiment une bonne chose. Non seulement, comme je l'ai déjà signalé, cela permet à tous de participer avec du temps et sans complexe, mais en plus, ainsi que nous le voyons aujourd'hui, cela permet aux plus avancés de peaufiner leur solution et de les présenter de manière très agréable (bravo en particulier à Gilles !). Merci à tous pour avoir présenté plusieurs manières de relever ce défi, et une nouvelle fois à celui qui en a eu l'initiative, C.Ret !
3 hommes, 3 demis, un 3a... Magnéto, Serge !

« Boris », c'est juste Maurice enrhumé.

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 20:01

gege a écrit :
05 mai 2019 18:59
Bonjour,
En effet et c'est la "voie naturelle", le copain qui m'a montré sa solution a trouvé un truc vraiment élégant !
Sinon pour l'angle droit j'ai une façon de le mettre en évidence :
Image
Ah! Je savais bien que le triangle de Pytagore { 3 4 5 } n'était pas là par hasard !

Marge a écrit :
05 mai 2019 19:21
Ah ! ce fut rude. […]
J'eus un éclair de génie, ce qui me valut une première déconvenue : […]On y parlait des vecteurs, mais je passai rapidement ces passages pour aborder avec intérêt le chapitre consacré à la Trigonométrie et à la Géométrie Analytique ; j'y trouvai une formule que je cherchais, sans doute, sans le savoir : j'avais en effet songé à résoudre ce deuxième problème à partir du constat que les quatre angles formés au sommet E comptent nécessairement 360 degrés, mais n'avais encore rien écrit dans ce sens. Or, la formule dite "SSS" (pour l'anglais Side-Side-Side) s'appliquait merveilleusement au problème :
A1 = acos [(S1² + S2² - S3²) / (2 x S1 x S2)]
[…]La solution consistait à utiliser la puissance d'un calculateur pour tester différentes valeurs de a aboutissant à l'annulation de la formule ! C'était, je le lui dis, « un peu grossier », mais elle ne me répondit rien ; il s'agissait après tout d'obtenir un résultat !
Et quel calculateur ! Je suis émerveillé, non pas par les tribulations qui ont amené à ta solution, elles ressemblent bien trop aux miennes. J'ai moi aussi des fulgurances qui conduisent aussi à des déconvenues. Non, c'est d'avoir trouvé une solution qui sort des sentiers battues et de l'Analyse Classique. Discipline que certains d'autres nous ont appris au cours de leurs études ou dans des professions où ce type de problèmes était fréquent, voir une routine.

Non je suis émerveillé de tant d'acharnement, et des ressources trouvées. En plus le code fait tout de même plus d'une centaine de lignes et la vénérable dame trouve à converger vers la solution.

J'ai utilisé en fait initialement la même approche, utilisant l'application de géométrie pour guider mes tâtonnement. Mais je ne suis pas arrivé à ton niveau; programmer cette recherche, comme Alan Turing, sur une machine et bien que partant d'un paramètre surprenant, mais juste, la somme des angles autour de E fait bien et bien 360° a permit à cette mécanique (bon d'accord je m'emporte, c'est une calculatrice électronique et à part le mouvement des touches, la mécanique n'intervient pas lors des calculs…).


Tout émerveillé, je continu ma résolution :

Ce système admet au moins une solution car la construction géométrique a démontrée qu'il existe un point E à l'intérieur du carré ABCD.
sys-eq123.gif
sys-eq123.gif (1.97 Kio) Consulté 3554 fois
Comme l'on sait que le système admet au moins une solution, on peut aller un peu vite et arranger les équation de façon à exprimer x et y en fonction de a :
sys-eq234.gif
sys-eq234.gif (2.48 Kio) Consulté 3554 fois
Ce qui se simplifie en :
sys-eq345.gif
sys-eq345.gif (2.23 Kio) Consulté 3554 fois
On obtient alors la solution formelle à notre problème : l'equatuon eqA permet de déterminer la ou les valeurs possible pour l'arrête du carré et les équation eqX et eqY les coordonnées du point E pour chaque carré possible.
sys-eq456.gif
sys-eq456.gif (2.1 Kio) Consulté 3554 fois
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 20:30

gege a écrit :
05 mai 2019 18:19
Bonjour,
Oulà c'est compliqué !
Un copain m'a montré une méthode simple :(…)Donc x²=18
CQFD
(...)

G.E.
Excellent ! Mais tu réponds à la question subsidiaire. Comment fais-tu pour la question principale?

Remarque c''est simple aussi… ;D Quoique ?
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 05 mai 2019 20:43

Marge a écrit :
05 mai 2019 19:21
L'illustration du Robinson dialoguant avec la licorne provient du premier album de Fred daté de 1972 : Philémon et le naufragé du A, dont je recommande chaudement la lecture.
Je plussoie !

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 05 mai 2019 20:55

La résolution formelle du système abouti à une équation bi-carrée, c'est à dire une équation quadratique du terme a².

C'est le cas particulier d'une équation du 4ième degré sans terme de puissance impaire de l'inconnue, c'est donc, comme le signale Gilles ci-dessus fort simple.
sys-eq567.gif
sys-eq567.gif (6.08 Kio) Consulté 3536 fois
Comme a est une distance, on ne retiendra que les valeurs positives. On trouve donc bien deux taille de carré solution:
sys-eq678.gif
sys-eq678.gif (1.68 Kio) Consulté 3518 fois
ce qui correspond bien au valeurs approchées observées sur la figure.

Ce qui nous permet de donner les valeurs exactes des coordonnées du point E :
sys-eq786.gif
sys-eq786.gif (3.63 Kio) Consulté 3518 fois

Et aussi une mesure d de la distance entere les points D et E :
sys-eq_d1.gif
sys-eq_d1.gif (4.27 Kio) Consulté 3518 fois
Petite astuce, ne pas substituer 'bêtement' la valeur, même exacte de a dans cette formule: il existe une simplification rapide.
sys-eq_d2.gif
sys-eq_d2.gif (3.76 Kio) Consulté 3518 fois
Comme d est une distance, on ne retient que la valeur positive.
Dernière édition par C.Ret le 05 mai 2019 22:33, édité 2 fois.
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 21:20

Super de lire la façon dont vous avez aboutit à la solution.

De mon coté je ne me suis pas trop pris la tête en fait. Ma solution sur la HP50 est venu directement juste en entrant "l'énoncé" dans la calculatrice, si je peux dire. La solution pour trouver ED de Gege est sans conteste la plus élégante. Mais je vois pas de façon 'simple' de trouver 'a', la taille du carré
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 21:39

Marge a écrit :
05 mai 2019 19:21
Ah ! ce fut rude. Je ne suis pas bon en maths, c'est connu, mais j'aime cette activité qui permet de faire fonctionner mes neurones sans trop penser au sort de cette pauvre planète.
J'ai des lacunes, je dois réviser à chaque nouveau défi, et je ne suis pas dépourvu de ces manies qui me font sur le métier remettre cent fois l'ouvrage.
(…)
Marge, merci pour ton article. Ca se lit comme un bon roman. J'adore!
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par gege » 05 mai 2019 23:08

Bonjour,
Pour rappel je n'ai pas trouvé la solution ultra-simple pour trouver DE, c'est mon pote Yves.
J'envie ce genre de coup de génie.
A trouver en effet une astuce simplissime pour le côté du carré.
Qui s'y colle ?
G.E.

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