La Question radicale Du Dimanche matin carré

Ici, on fait dans le petit, le LCD qui déchire sa race, on y cause même calculatrices quand on est en manque !

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dprtl
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par dprtl »

C.Ret a écrit : 11 sept. 2021 16:41 Il faudrait que dprtl nous explique comment il a fait pour tracer S(x) dans la partie des x négatifs ! Cela ne me parait pas évident au premier abord, pourquoi les racines d'un nombre négatifs produisent une valeur réelle ??
Je ne sais pas le démontrer, mais les calculettes sur lesquelles les calculs complexes ont été implémentés nativement le savent bien. Par exemple avec Free42 :

s(-1) = 20,0002499922 i0 (environ)
s(-5000) = 21,0938136495 i0
casuffitdeschanel
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par casuffitdeschanel »

Racine (100 - 96) + Racine (100 + 96) = 2 + 14 = 16, qui est en plus un carre ... donc n=9216 est un candidat, mais je ne sais pas prouver que pour que cette somme soit entière, il faut que les deux parties le soient aussi...
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Marge
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Marge »

casuffitdeschanel a écrit : 16 sept. 2021 17:16 Racine (100 - 96) + Racine (100 + 96) = 2 + 14 = 16, qui est en plus un carre ... donc n=9216 est un candidat, mais je ne sais pas prouver que pour que cette somme soit entière, il faut que les deux parties le soient aussi...
Comment mon programme sur HP-29E a-t-il pu rater ça ? 8O
3 hommes, 3 demis, un 3a... Magnéto, Serge !

Quelques-uns de mes petits programmes pour machines Hewlett-Packard :
15C : Knight's Tour ;
29C : (k-)Permutations, Combinations, Linear Regression and Pseudo-random number ;
34C : Hanoi Towers - Automatic & Manual resolutions ;
67
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« Boris », c'était juste Maurice enrhumé.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par zpalm »

casuffitdeschanel a écrit : 16 sept. 2021 17:16 mais je ne sais pas prouver que pour que cette somme soit entière, il faut que les deux parties le soient aussi...
peut-être parce qu'il y a un contre-exemple qui est la réponse à la question initiale...
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

Hobiecat a écrit : 11 sept. 2021 17:19Oui, on voit bien ce qui se passe aussi en développant S au carré... :wink:
Oui, c'est la clef qui ouvre la bonne porte... :wink:
dprtl a écrit : 11 sept. 2021 17:51Je ne sais pas le démontrer, mais les calculettes sur lesquelles les calculs complexes ont été implémentés nativement le savent bien.
Oui, utiliser une calculette capable de calculer des racines de nombres négatifs (c'est à dire des nombres complexes) est une des solutions envisageables pour répondre à la question subsidiaire.
casuffitdeschanel a écrit : 16 sept. 2021 17:16Racine (100 - 96) + Racine (100 + 96) = 2 + 14 = 16, qui est en plus un carre ... donc n=9216 est un candidat


Effectivement n=9216 est bien une solution envisageable; on obtient bien S(9216)=√(100-√9216)+√(100+√9216)=√(100-96)+√(100+96)=√4+√196=2+14=16 qui est bien une valeur exactement entière. Le soucis est qu'il existe un entier n plus petit que 9216 qui lui aussi produit une valeur S(n) entière !!

Sinon, effectivement et de façon très surprenante, le plus petit n n'est pas un carré parfait. Mais la somme des deux racines carrée dans S à savoir √(100-√n)+√(100+√n), produit très exactement et très rigoureusement un entier.

D'où d'ailleurs mon indice illustré par une capture sur SHARP PC-1360...

Marge a écrit : 16 sept. 2021 18:45Comment mon programme sur HP-29E a-t-il pu rater ça ? 8O
J'ai bien une idée. Je crois que c'est parce que ton HP-29E est une brute !!

En fait, non, pas vraiment, j'ai choisi de poser cette QDD justement parce que sa résolution par force brute pose pas mal de petits problèmes; un petit problème d'arrondi.

Comme me le faisait remarquer notre ami zpalm par MP alors qu'il me donnait les solutions, la précision à 10 chiffres ou 12 chiffres de nos HP peut bien changer l'efficacité de ce type de recherche. Même l'HP Prime est mise à défaut alors qu'avec le même algorithme brutal, d'autres machines plus rustres vont fortuitement trouver (ou pas !).

Même sur une TI-74 BASICALC qui utilise naturellement 14 chiffres significatifs, le code suivant ne permet pas de trouver le plus petit entier n strictement positif produisant une valeur S(n) entière :

Code : Tout sélectionner

10 FOR N=1 TO 10000
12    S=SQRT(100-SQRT(N))+SQRT(100+SQRT(N))
14    IF S=INT(S) THEN PRINT N;S:PAUSE
16 NEXT N
Ce qui, m'a fortement déconcerté et m'a obligé à réfléchir et à rechercher une solution un peu plus analytique ...
Modifié en dernier par C.Ret le 25 sept. 2021 19:46, modifié 1 fois.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Schraf »

Sur la Numworks, on obtient les 2 valeurs n=6xxx et n=9216 en moins d'une seconde

Code : Tout sélectionner

from math import sqrt
for n in range(10000):
  rac = sqrt(n + 1)
  s = sqrt(100 - rac) + sqrt(100 + rac)
  if s - int(s) < 1e-4: print(n + 1,s)
En mettant 1e-3 (= 1 / 1000) on trouve de fausses solutions comme n=3519 (qui donne 19,000245...) et n=8019 (qui donne 17,000495...)

Version bourrin en APL qui donne le n=6xxx (à tester sur https://tryapl.org/):

Code : Tout sélectionner

⊃ n /⍨ v = ⌊v ← (.5 *⍨ 100 - r) + .5 *⍨ 100 + r ← .5 *⍨ n ← ⍳1e4
6xxx
Si on cherche le carré de l'expression on trouve E = 200 + 2 * rac(10000 - n), il faut donc que rac(E) soit un entier. On obtient les mêmes solutions avec :

Code : Tout sélectionner

from math import sqrt
for n in range(10000):
  s = sqrt(200 + 2 * sqrt(1e4 - n - 1))
  if s - int(s) < 1e-4:	print(n + 1,s)

Code : Tout sélectionner

⊃ n /⍨ v = ⌊v ← .5 *⍨ 2 × 100 + .5 *⍨ 1e4 - n ← ⍳1e4
6xxx
Modifié en dernier par Schraf le 25 sept. 2021 16:15, modifié 1 fois.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Schraf »

Sur les CASIO GRAPH 35 et 90 ça fonctionne sans utiliser d'approximation :
radical
radical
radical.jpg (49.29 Kio) Vu 5199 fois
1 minute 10 secondes sur les dernières CASIO GRAPH 35+E ii
7 minutes 10 secondes sur les GRAPH 35 vertes ancienne génération (année ??)
49 secondes sur les dernières CASIO GRAPH 90+E
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Schraf »

Pour la version avec les n négatifs, sur la Numworks on a le module cmath qui permet de faire quelques calculs sur les nombres complexes :

Code : Tout sélectionner

from math import sqrt
from cmath import *

n = 1
while True:
  r = polar(sqrt(100 - sqrt(n) * 1j) + sqrt(100 + sqrt(n) * 1j))[0]
  if r - int(r) < 1e-6: break
  n += 1
print(-n)

-25344
  • Le 1j représente le nombre complexe i
  • Lorsque n est négatif, racine(n) est le nombre complexe (0, +- racine(-n))
  • Les nombres complexes 100 - x * i et 100 + x * i sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses (conjugués), ce sera pareil pour leurs racines carrées et donc, en faisant la somme, on obtiendra un réel
  • On calcule le module de la somme (1ere coordonnée du résultat renvoyé par polar)
A noter que pour n = -17061, on obtient 23,0000991... d'où mon 1e-6 pour trouver la vraie solution.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Schraf »

En cherchant la version pour les n négatifs sur les CASIO GRAPH, je constate que mon programme donne N = -10164 au lieu de N = -25344 comme avec la version en Python... En vérifiant sur la NUMWORKS, effectivement N = -10164 fonctionne !
N = -10164
N = -10164
22.png (6.4 Kio) Vu 5127 fois
Le programme sur CASIO (35 ou 90) :
Programme
Programme
casioV2.jpg (52.6 Kio) Vu 5122 fois
En 2 mots :
  • Le nombre complexe z = 100 + racine(N) a pour module R = racine(10^4 + N)
  • Sa racine carrée a pour module racine(R) (d'où la double racine carrée) et comme argument la moitié de l'argument de z
  • L'argument de z peut se calculer en utilisant Pol, mais comme sur les anciennes machines les résultats étaient mis dans les mémoires I et J et que ce n'est plus le cas sur les nouvelles, j'ai préféré prendre Atan
2 minutes 20 secondes sur la dernière CASIO GRAPH 35+E ii pour trouver N = -10164

Conclusion : N = -10164, N = -25344 et N = -46644 répondent à la question

N = -25344 et N = -46644
N = -25344 et N = -46644
24 et 26.png (8.44 Kio) Vu 5125 fois
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Schraf »

Je me suis amusé à regarder ce qu'il se passait si au lieu de 100 on mettait autre chose, et plus particulièrement des carrés (1,4,25,36,49...). A priori on ne voit pas une suite évidente :

Code : Tout sélectionner

1	288
4	180
9	448
16	900
25	1584
36	2548
49	3840
64	5508
81	7600
100	10164
Ce qui signifie :
3 premiers résultats
3 premiers résultats
3premiers.png (8.07 Kio) Vu 5061 fois
Ensuite j'ai cherché (en pensant aux différences finies) les différences entre les lignes à 3 niveaux :
48
48
48.png (64.85 Kio) Vu 5061 fois
Et là on obtient une suite constante !

Donc, en remontant, on se retrouve avec une suite récurrente d'ordre 3 :

u(n+3) = 48 + 3 * u(n+2) - 3 * u(n+1) + u(n)
avec u(1)=288,u(2)=180 et u(3)=448

Un petit coup de Xcas (logiciel de calcul formel) :

Code : Tout sélectionner

rsolve(u(n+3)=48+3*u(n+2)-3*u(n+1)+u(n),u(n),u(1)=288,u(2)=180,u(3)=448)
Et finalement on arrive à l'expression (valable pour n >= 2) :

Code : Tout sélectionner

u(n) = 4 * (n + 1)^2 * (2n + 1)
Par exemple u(10) = 10164, u(100) = 8 201 604

100
100
100carre.png (6.84 Kio) Vu 5061 fois
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par zpalm »

Schraf a écrit : 25 sept. 2021 15:32 Je me suis amusé à regarder ce qu'il se passait si au lieu de 100 on mettait autre chose, et plus particulièrement des carrés (1,4,25,36,49...). A priori on ne voit pas une suite évidente :

Code : Tout sélectionner

1	288
4	180
9	448
16	900
25	1584
36	2548
49	3840
64	5508
81	7600
100	10164
[...]

Et finalement on arrive à l'expression (valable pour n >= 2) :

Code : Tout sélectionner

u(n) = 4 * (n + 1)^2 * (2n + 1)
Par exemple u(10) = 10164, u(100) = 8 201 604
Bien vu, et très intéressant ! Je n'ai pas trouvé cette suite sur le site OEIS, par contre, à l'exception du premier terme, elle semble être un sous ensemble de la suite A045991.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Schraf »

Merci zpalm ! :wink:

J'ai fait la même manip avec les solutions positives (c'était l'énoncé initial) et ça marche pareil... Je ne sais pas si ce sont bien les solutions minimales (dans le sens "au plus près de 0") mais comme ça on dirait. J'aime bien les 2 signes "-" qui se transforment en "+" quand on passe dans les complexes.

positives et négatives
positives et négatives
solutions.jpg (48.36 Kio) Vu 5047 fois
A=10
A=10
exemples.jpg (27.56 Kio) Vu 5047 fois
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

AH! Je vois que ma petite question du dimanche a bien inspiré notre ami Schraf !

Cela fait plaisir !

Il a bien trouvé les réponses des deux questions, et à ma grande surprise, il a trouver une solution formelle. C'était au début du mois, la question que je me posais; j'avais trouvé ce sujet intéressant, et surtout sa résolution qui est simple sauf si l'on se lance dans une recherche par force brute. La démonstration tient facilement en quelques lignes. On est alors sûr d'avoir trouvé le plus petit entier solution (subsidiairement le plus grand). Même l'on a pas de résultat exact car les calculs sont par contre un piège pour nos machines.

Je suis surpris que Schraf n'ai pas démontré qu'il s'agit de l'entier le plus petit (ou le plus grand négativement) car il a donné tous les indices ...

Je vais détailler la démonstration, où il est question de parité de S. Je ne m'attendais pas à ce que ce QDD me donne une formule générale. Mais il y a trop de chose d'un seul coup, je vais d'abord reprendre point par point les information afin que tout le monde puisse suivre.
Modifié en dernier par C.Ret le 25 sept. 2021 20:13, modifié 1 fois.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

Schraf a écrit : 23 sept. 2021 17:42Sur la Numworks, on obtient les 2 valeurs n=6xxx et n=9216 en moins d'une seconde
Tu aurai dû me les envoyer par MP, j'aurais ainsi pu valider tes réponses et mettre ton avatar dans le premier post.
Schraf a écrit : 23 sept. 2021 17:42 En mettant 1e-3 (= 1 / 1000) on trouve de fausses solutions comme n=3519 (qui donne 19,000245...) et n=8019 (qui donne 17,000495...)
]

Ah! Voilà effectivement tout l'intérêt de ce QDD réside dans le fait que la plupart des calculatrices (pour ne pas dire toutes) ont bien du mal à convenablement éviter les erreurs d'arrondis. Ce qui complique bigrement les recherches par force brute, surtout si comme dans le code que je donnais ci-dessus on utilise un test basé sur une égalité exacte.

La solution est alors effectivement de tester à une erreur près ! Schraf semble être le seul a y avoir pensé; ou alors les autres ont oublier de nous l'expliquer.

Mais alors j'ai une question, pourquoi 1E-4 et bon alors que 1E-3 est mauvais, et pourquoi pas plutôt 1E-5 ??

La réponse est ailleurs.

Schraf a écrit : 23 sept. 2021 20:01Sur les CASIO GRAPH 35 et 90 ça fonctionne sans utiliser d'approximation :
En fait, si l'on fait le bon raisonnement, cela marche avec n'importe quelle machine même les plus approximatives
Schraf a écrit : 23 sept. 2021 20:01 1 minute 10 secondes sur les dernières CASIO GRAPH 35+E ii
7 minutes 10 secondes sur les GRAPH 35 vertes ancienne génération (année ??)
49 secondes sur les dernières CASIO GRAPH 90+E


Bon, ben je garde mon Hewlett-Packard 15C car elle résous ce problème, une fois qu'il est convenablement posé, en moins de vingt secondes. (Et encore je n'ai pas une HP-15C spéciale-édition qui va à la vitesse de la lumière ... )
Schraf a écrit : 25 sept. 2021 15:32 Je me suis amusé à regarder ce qu'il se passait si au lieu de 100 on mettait autre chose, et plus particulièrement des carrés (1,4,25,36,49...). A priori on ne voit pas une suite évidente :
Là, en lisant cela, je me suis dit que je n'était pas le seul à avoir de drôle de jeu...

Puis, j'ai vu que Schraf a sorti l'artillerie lourde, Excel, XCas, ... oh oh là là ...
Schraf a écrit : 25 sept. 2021 15:32Et là on obtient une suite constante !

Donc, en remontant, on se retrouve avec une suite récurrente d'ordre 3 :

u(n+3) = 48 + 3 * u(n+2) - 3 * u(n+1) + u(n)
avec u(1)=288,u(2)=180 et u(3)=448

Un petit coup de Xcas (logiciel de calcul formel) :

Code : Tout sélectionner

rsolve(u(n+3)=48+3*u(n+2)-3*u(n+1)+u(n),u(n),u(1)=288,u(2)=180,u(3)=448)
Et finalement on arrive à l'expression (valable pour n >= 2) :

Code : Tout sélectionner

u(n) = 4 * (n + 1)^2 * (2n + 1)
Et oui, quel coup de maitre... en lisant ces lignes on pourrait croire que c'est facile... mais non qu'el brio.

Je ne pensais pas qu'il y avait moyen de formaliser et de donner une valeur de n en fonction du nombre sous les radicaux de S.


Et tout cas, c'est bien sympathique de partager avec nous ta trouvaille et je suis ravi que ce petit QDD ai été aussi divertissant. C'est fait pour ça, pour nous amuser, faire tourner nos vieilleries et explorer des univers sans cela ignorés...


Portant, vous allez rire, car la démonstration et la solution rigoureuse est très simple. Il y a dans les matériaux présentés par Schraf tous les points qui démontrent la solution; il est juste passé devant trop vite et n'en a pas tiré les indices utiles...
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Ythunder »

Euh, excuse mais quel rapport avec le forum ?
Perso, quand je pose une question sur de l'électricité ou isolation de manière isolée, je post dans le bistrot...
Ce type de post devrait être dans le bistrot (parce qu'en suite les types de micro se cassent du forum d'ailleurs il n'y a quasi plus aucun post de micro sur sili, allez savoir pourquoi...)
Quand je lis ça "oui des passionnées qui modifie des machines pour en faire des moutons a 5 pattes qui n'ont plus rien a voir avec la machine d'origine afin de faire la video choc sur youtube..."

Ca me fait rire. Perso, je n'ai ni chaine youtube sur les machines et je n'ai aucun mouton à 5 pattes qui n'a pàlus rien a voir avec des machines d'origine. Mais à qui s'adressait on ?
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