La Question radicale Du Dimanche matin carré

Ici, on fait dans le petit, le LCD qui déchire sa race, on y cause même calculatrices quand on est en manque !

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C.Ret
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La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

Comme il fait beau, et que vous serez très occupés aujourd'hui à profiter des clémences estivales de cette fin de saison, j'ai beaucoup hésité à vous proposer ce Q-D-D.

Mais, je me suis dit que certains, comme moi seront bien organisés, et pourront profiter de cette belle journée tout en réfléchissant à ce problème qui parait assez simple. Mais, ne faut-il pas se méfier des apparences et de l'eau qui dort ?
(from Harvard-MIT Math tournament HMMT problem from  November 10, 2018 Question #5)
(from Harvard-MIT Math tournament HMMT problem from November 10, 2018 Question #5)
Question du Dimanche 05 Septembre 2021.gif (25.93 Kio) Vu 6663 fois

Comme de précédentes questions du dimanche furent trouvées en quelques minutes et d'autre résolue par un unique membre du forum, je ne donne aujourd'hui pas d'autre information sur ce fil avant que la météo n'évolue un peu...

Les indices, s'il s'avérerait qui soient nécessaires, seront distillés au compte-goutte dans le courant des jours à venir...

Si quelqu'un trouve et ne veux pas gâcher le plaisir que d'autres auraient à chercher la solution, qu'il n'hésite pas à vérifier son hypothèse par MP.

A 23:19 ce samedi 25 septembre :
Ont trouve le plus petit entier n strictement positif :
  1. Imagebernouilli92
  2. Image zpalm
  3. ImageHobiecat
  4. ImageDanny
  5. ImageHelix
  6. ImageSchraf
Ont trouvé le plus grand entier n strictement négatif :
  1. Image zpalm
  2. ImageHelix
  3. ImageSchraf
Modifié en dernier par C.Ret le 25 sept. 2021 19:44, modifié 5 fois.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par bernouilli92 »

MP envoyé.
HP, Casio, Sharp, Psion, quelques TI et divers autres
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C.Ret
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

bernouilli92 a écrit : 05 sept. 2021 09:06MP envoyé.
Avec la bonne réponse. Très bien et très rapide.

Maintenant, bernouilli92 va pouvoir chercher la réponse à la question subsidiaire :
"Trouver le plus grand entier n strictement négatif tel que S soit une valeur entière."
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Marge »

Veuillez noter, messieurs, qu’en mathématiques quantiques le résultat est pour ainsi dire instantané. Si en effet sqr(N) vaut en même temps 19 et 24, S est entier.
Je viens cependant d’entrer quelques données dans mon accélérateur de particules HP-29E, et il me faut bien reconnaître que mes résultats sont plus qu’incertains : j’obtiens le message Error lorsque N dépasse 100^2, en conséquence de quoi je donne ma langue au chat et retourne me coucher.
3 hommes, 3 demis, un 3a... Magnéto, Serge !

Quelques-uns de mes petits programmes pour machines Hewlett-Packard :
15C : Knight's Tour ;
29C : (k-)Permutations, Combinations, Linear Regression and Pseudo-random number ;
34C : Hanoi Towers - Automatic & Manual resolutions ;
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par zpalm »

bernouilli92 a écrit : 05 sept. 2021 09:06 MP envoyé.
Idem.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Hobiecat »

MP envoyé aussi !
Marge a écrit : 06 sept. 2021 08:56 Veuillez noter, messieurs, qu’en mathématiques quantiques le résultat est pour ainsi dire instantané. Si en effet sqr(N) vaut en même temps 19 et 24, S est entier.
Je viens cependant d’entrer quelques données dans mon accélérateur de particules HP-29E, et il me faut bien reconnaître que mes résultats sont plus qu’incertains : j’obtiens le message Error lorsque N dépasse 100^2, en conséquence de quoi je donne ma langue au chat et retourne me coucher.
C'est normal, à partir de 10 000, la racine de n devient supérieure à 100, et donc tu cherches à calculer la racine d'un nombre négatif.
C.Ret a écrit : 05 sept. 2021 09:23 "Trouver le plus grand entier n strictement négatif tel que S soit une valeur entière."
Il faudrait peut-être préciser un peu l'énoncé : racine de n avec n négatif, sauf à passer en complexe, on ne sait pas le calculer. :wink:
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Marge
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Marge »

Hobiecat a écrit : 06 sept. 2021 15:21 MP envoyé aussi !
Marge a écrit : 06 sept. 2021 08:56 Veuillez noter, messieurs, qu’en mathématiques quantiques le résultat est pour ainsi dire instantané. Si en effet sqr(N) vaut en même temps 19 et 24, S est entier.
Je viens cependant d’entrer quelques données dans mon accélérateur de particules HP-29E, et il me faut bien reconnaître que mes résultats sont plus qu’incertains : j’obtiens le message Error lorsque N dépasse 100^2, en conséquence de quoi je donne ma langue au chat et retourne me coucher.
C'est normal, à partir de 10 000, la racine de n devient supérieure à 100, et donc tu cherches à calculer la racine d'un nombre négatif.
Ah bon ? Décidément, on me cache bien des choses !
Mais je ne m’avoue pas vaincu et tâcherai de trouver la solution quand j’en aurai terminé avec mes bouts de savonnettes.
3 hommes, 3 demis, un 3a... Magnéto, Serge !

Quelques-uns de mes petits programmes pour machines Hewlett-Packard :
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29C : (k-)Permutations, Combinations, Linear Regression and Pseudo-random number ;
34C : Hanoi Towers - Automatic & Manual resolutions ;
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Danny »

Hobiecat a écrit : 06 sept. 2021 15:21
C.Ret a écrit : 05 sept. 2021 09:23 "Trouver le plus grand entier n strictement négatif tel que S soit une valeur entière."
Il faudrait peut-être préciser un peu l'énoncé : racine de n avec n négatif, sauf à passer en complexe, on ne sait pas le calculer. :wink:
Y a qu'à prendre en compte seulement la partie réelle, et du coup la réponse est la même que pour la 1ère question :mrgreen:
? Apple, Atari, Canon, Casio, ????????????, HP, Psion, Sharp, Tandy... même TI.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Hobiecat »

Danny a écrit : 06 sept. 2021 19:04 Y a qu'à prendre en compte seulement la partie réelle, et du coup la réponse est la même que pour la 1ère question :mrgreen:
Oui, on peut faire comme ça, c'est rapide à programmer. :mrgreen:
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

Hobiecat a écrit : 06 sept. 2021 15:21
C.Ret a écrit : 05 sept. 2021 09:23"Trouver le plus grand entier n strictement négatif tel que S soit une valeur entière."
Il faudrait peut-être préciser un peu l'énoncé : racine de n avec n négatif, sauf à passer en complexe, on ne sait pas le calculer.
Ah! Je note qu'à 15h le lundi il y en a un qui est suffisamment remis des affres et excès du Week End pour avoir les idées claires et poser LA bonne question.

Oui, oui, oui, oui,... pour la question subsidiaire, comme n doit être le plus grand entier négatif et qu'il entre dans la formule donnant S sous un radical, il va bien falloir passer par les complexes.

Mais attention, n est un entier et il n'a donc pas de partie imaginaire et sa partie réelle n'a pas de partie fractionnaire

Héhé, ça se complique...
Danny a écrit : 06 sept. 2021 19:04[...]Y a qu'à prendre en compte seulement la partie réelle, et du coup la réponse est la même que pour la 1ère question :mrgreen:
Oui, comme je le disais ci-dessus, n n'a pas de partie imaginaire et sa partie réelle est entière. Et surtout, sa partie réelle entière est négative. Par contre, il doit bien y avoir quelque part quelque chose qui est un vrai complexe avec une partie imaginaire. Sinon, concrètement il y a un problème.

Autre problème que je vois, on ne peut pas avoir la même réponse puisqu'un nombre positif n'est pas négatif et inversement.

Sauf évidemment pour zéro, mais j'aurais l'occasion de revenir en détail à ce cas qui est interdit;
n doit être strictement positif pour la QDD principale ou strictement négatif pour la question subsidiaire.

Marge a écrit : 06 sept. 2021 17:37Ah bon ? Décidément, on me cache bien des choses !
Mais je ne m’avoue pas vaincu et tâcherai de trouver la solution quand j’en aurai terminé avec mes bouts de savonnettes.
Mon père lui aussi m'avait caché pendant longtemps son secret pour recoller les bouts de savonnettes qu'il récupérait sur les nombreux porte-savons des lavabo de la maison. Il refaisait une savonnette de bonne taille toute bariolée et parfumée où l'on voyait collé les uns sur les autre les anciens bouts des savons usés et abandonnés.

Ce n'est que vers la fin de mes études que j'ai trouvé comment il faisait, il utilisait son after-shave, mais on peut utiliser tout type d'alcool. En pressant les bouts de savonnettes bien sèches mais copieusement aspergées de solution alcoolique (l'after-shave paternel était une concoction alcoolique parfumée prête à l'emploi) il se soudent entre eux et en laissant sécher et évaporer l'excès d'alcool, les bouts forment un nouveau savon.

Bon, je dois avouer que la difficulté est surtout d'obtenir un savon entier et solide alors que les bouts et restes de savonnettes sont friables, inégaux, irrationnels.

C'est exactement le même problème avec ce QDD, comment obtenir une valeur S entière alors que S est construit à partir de racines carrées enchevêtrées qui ont donc une forte préemption à justement ne pas former de nombres simples ou entiers. Et en plus on doit parvenir à ce prodige à partir d'un très humble entier n que l'on veut de plus le plus petit possible...

... j'aime les Mens et Manus du Massachusetts Institute of Technology (MIT), ils sont très joueurs et imaginatifs cette petite question soulève bien des problèmes et révèle les limites de nos calculs...

J'aurais dû le dire dans le premier post, il y a des machines (les calculettes d'avant 1994) qui vont avoir bien du mal à répondre à ce QDD alors que certains utilisateurs de calculatrices actuelles n'ont même pas entrevu l'ombre du moindre écueil !
Hobiecat a écrit : 06 sept. 2021 20:11
Danny a écrit : 06 sept. 2021 19:04Y a qu'à prendre en compte seulement la partie réelle, et du coup la réponse est la même que pour la 1ère question :mrgreen:
Oui, on peut faire comme ça, c'est rapide à programmer. :mrgreen:
Cette question est extraite d'un concours organisé par le MIT; méfiez-vous de ce qui est facile à programmer !!
Modifié en dernier par C.Ret le 19 sept. 2021 08:51, modifié 1 fois.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par dprtl »

Comme je n'ai pas énormément de temps en ce moment, j'ai un peu triché en soumettant l'expression suivante à wolframalpha.com :

solve s=sqrt(100-sqrt(n))+sqrt(100+sqrt(n)) over the integers

Les deux solutions supérieures à zéro s'affichent instantanément. De plus, la forme de la courbe s(n) qui est affichée gratuitement juste en dessous peut étonner !
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

Effectivement, il est temps que je donne quelques indications pour aider ceux qui chercheront un peu ce W.E.

La première concerne la forme de la courbe dont parle dprtl : sur la figure ci-dessous, il s'agit de la courbe en bleu S(x) qui n'est définie que pour les valeurs positives de x qui n'intervient, à chaque fois, que sous un radical √x
QDD - Courbe étrange de S en fonction de n.png
QDD - Courbe étrange de S en fonction de n.png (8.6 Kio) Vu 6399 fois


La seconde est un peu déroutante et concerne l'emboitement de radicaux. Cet indice servira surtout à vérifier vos résultats. Surtout, si comme moi, vous utiliser une astuce et un peu de gruge. Pouvoir vérifier l'exactitude d'un raisonnement peu parfois servir à éviter de dire encore plus de bêtises. Par ailleurs, cela me permet insidieusement d'introduire l'idée d'un très prochain MPO.
QDD - Indice mystérieux obtenu sur le PC-1360 que PockEmule notre camarade  Remy.gif
QDD - Indice mystérieux obtenu sur le PC-1360 que PockEmule notre camarade Remy.gif (153.54 Kio) Vu 6379 fois
Je ne remercierai jamais assez remy pour son fabuleux PockEmul qui permet tant de choses, ainsi que d'excellentes captures d'écran HD.
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par dprtl »

Voici ci-dessous une autre représentation graphique de la courbe qui nous intéresse, avec quelques valeurs particulières (ligne rouge, orange et verte) :

Image
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par C.Ret »

dprtl a écrit : 11 sept. 2021 16:38 Voici ci-dessous une autre représentation graphique de la courbe qui nous intéresse, avec quelques valeurs particulières (ligne rouge, orange et verte) :
[...img...]
Il faudrait que dprtl nous explique comment il a fait pour tracer S(x) dans la partie des x négatifs ! Cela ne me parait pas évident au premier abord, pourquoi les racines d'un nombre négatifs produisent une valeur réelle ??

Subsidiairement, il manque sur la figure la ligne 20, mais aussi les lignes paires au-delà de vingt, comme la 22 et les suivantes... même si ces dernières sont moins importantes.

La ligne horizontale y= 20 a une importance particulière, elle est la solution volontairement écartée du problème à résoudre.

Pourtant, avec x=0, on obtient bel et bien une valeur entière pour S :

S(0) = √(100-√0) + √(100+√0) = √100 + √100 = 2*√100 = 2*10 = 20

Donc, c'est la frontière entre les n positifs et négatifs... entre le plus grand et le plus petit des entiers strictement positif ou strictement négatif. Tout dépend du sens de circulation de la route que l'on empreinte :)

C'est la clef du problème 8)
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Re: La Question radicale Du Dimanche matin carré

Message par Hobiecat »

Oui, on voit bien ce qui se passe aussi en développant S au carré... :wink:
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