Je me suis abrité juste à tant de la pluie chaude et brumeuse de cet après-midi d'août pour découvrir une suite qui sort de l'ordinaire.
Dans une période où tout semble se dégrader, diverger , partir en vrille ou s'enfoncer dans le chaos, j'ai découvert une chose bien étrange et en quelque sorte antagoniste à ce qui semble être la tendance actuelle.
Si vous le voulez bien, considérons la suite suivante définie de la façon suivante : Il s'agit d'une définition par récurrence où GCD(a,b) n'est rien d'autre que le Plus Grand Diviseur Commun (PGDC). J'ai laissé la définition avec le formalisme anglais puisque je l'ai trouvé dans un document dans cette langue.
Le terme suivant est calculé différemment selon que le terme précèdent possède ou non un diviseur commun avec le rang n.
Si u(n-1) et n sont premiers entre-eux, le terme suivant est u(n)=u(n-1)+n+1.
Sinon, le terme suivant est obtenu par division; on simplifie en quelque sorte par le plus grand diviseur commun et u(n)=u(n-1)/gcd(u(n-1),n).
Programmons notre assistant numérique préféré, ou celui qui nous semblera le plus adapté, afin d'en tracer la courbe. Certains préfèrerons peut-être tracer cette courbe à la main sur du papier calque ou une feuille de papier millimétrée. Ce ne doit pas être impossible, mais juste un peu plus long. Quoi que je n'en soit pas absolument sûr, programmer convenablement une suite définie par récurrence pose parfois de ennuis sur certains systèmes…
Pour tracer ce graphe, il suffit de calculer les éléments de cette suite, dont je donne ci-dessous les treize premières valeurs:
Code : Tout sélectionner
n │ 0 │ 1 │ 2 │ 3 │ 4 │ 5 │ 6 │ 7 │ 8 │ 9 │ 10 │ 11 │ 12 │ 13
────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼────┼─────┼─────
u(n)│ 1 │ 1 │ 4 │ 8 │ 2 │ 8 │ 4 │ 12 │ 3 │ 1 │ 12 │ 24 │ 2 │ 16
u(2)=1+2+1=4 car u(1)=1 et n=2 sont premiers entre-eux (pas de diviseurs commun).
u(3)=4+3+1=8 car u(2)=4 et n=3 n'ont pas de diviseurs commun.
U(4)=8/4=2 car 4 est diviseur de u(3)=8 et n=4
etc.
En procédant ainsi, j'ai pu tracer la courbe suivante qui représente les valeurs u(n) pour n allant de 0 à 500 :
Cette suite semble aléatoire et les points forment un beau chaos, les valeurs se dispersant de plus en plus au fur et à mesure du tracé…
Mais…
(Car il y a un MAIS, qui d'ailleurs nous amène à la question graphique de ce dimanche)
Que ce passe-t-il si l'on cherche à tracer cette courbe pour n allant jusqu'à 1000, 2000, 4000 ou même plus ?