Pourquoi ça marche ?
Vu la forme de la solution, cela doit pouvoir se démontrer par récurrence. En partant des hypothèses que n0 et n1 sont deux impairs dont les carrés sont exacts pour t0 et t1, démontrer que n2 sera un carré exact pour t2 = 6.t1+t0+2
Sachant que l'on a:
n0 = (1+SQRT(2.t0.(t0-1)+1))/2 soit (2.n0-1)² = 2.t0.(t0-1)+1
n1 = (1+SQRT(2.t1.(t1+1)+1))/2 soit (2.n1-1)² = 2.t1.(t1-1)+1
Montrer que
(1+SQRT(2.t2.(t2+1)+1))/2 avec t2=6.t1-t0-2 est aussi une racine entière c'est-à-dire que 2.t2.(t2-1)+1 est aussi le carré d'un entier impair.
[…]
La vraie question, est comment avoir aussi vite trouvé la conjecture 6.t1-t0-2 ???
Est-ce un cas d'école des suites ?
Bon, je suis trop fatigué ce soir: j'ai juste un petit code RPN pour HP-28S qui crée la liste des solutions t :
Code : Tout sélectionner
« { 1 4 } DUP LIST→ DROP // Initialise la suite à partir du début la liste
DO // Boucle principale:
DUP 6 * ROT 2 + - // sauvegarde t1 et calcule t2 ← 6.t1-t0-2 en détruisant t0
ROT OVER + ROT ROT // Ajoute t2 en fin de liste
UNTIL DUP 1E11 > END // Boucle jusqu'à précision maximale
DROP2 » // Retire t1 et t0 de la pile, laisse la liste des solutions
Je trouve
{ 1 4 21 120 697 4060 23661 137904 803761 4684660 27304197 159140520 927538921 5406093004 31509019101 183648021600 }
sans pouvoir vérifier la validité des dernières solutions sans utiliser un autre calculateur.