La question (de géométrie) du dimanche soir

Ici, on fait dans le petit, le LCD qui déchire sa race, on y cause même calculatrices quand on est en manque !

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Gilles59
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 05 mai 2019 23:14

gege a écrit :
05 mai 2019 23:08
Bonjour,
Pour rappel je n'ai pas trouvé la solution ultra-simple pour trouver DE, c'est mon pote Yves.
J'envie ce genre de coup de génie.
A trouver en effet une astuce simplissime pour le côté du carré.
Qui s'y colle ?
G.E.
J'aurai tendance (sur la base de ton schéma) à partir vers (a+b)² mais si on a le a² et le b² manque le a.b de l'identité remarquable
Pour le reste j'ai tout oublié des formules liées au triangle (et des vieux souvenirs de lien entre P et S (produit et somme ?) . J'ai quand même l'impression qu'on doit pouvoir trouver la valeur de a/b, mais même dans ce cas est-ce que ça nous avance? Bon on 4 équations avec inconnues donc ca se résous facilement mais on veut du simplissime ;D

PS: sauf erreur le système d'équation est sous déterminé (si mes vieux souvenir de math sont bon…) bref pas de solution unique. Ah! Il faut ajouter que 'a+b=c+d' pour que la Prime et 50g trouvent la solution... 'a+b=c+d' qu'on peut mettre au carré et ?… il est l'heure de se coucher ;D
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par phe78 » 06 mai 2019 08:41

Merci Cret pour ce problème, je me suis régalé à la lecture des différents épisodes ! Et ça m'a donné envie de ressortir la Prime et d'apprendre à utiliser l'application géométrie.

Une question : quel logiciel as-tu utilisé pour faire des graphiques ?

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 06 mai 2019 10:03

Marge a écrit :
05 mai 2019 19:21
La solution consistait à utiliser la puissance d'un calculateur pour tester différentes valeurs de a aboutissant à l'annulation de la formule ! C'était, je le lui dis, « un peu grossier », mais elle ne me répondit rien ; il s'agissait après tout d'obtenir un résultat ! Je traçai le logigramme ci-dessus : la machine devait elle-même s'approcher de la solution en fonction d'un pas modifiable en valeur et en sens et à un degré de précision suffisant pour obtenir un tracé convenable du carré. Je passais la soirée du 2 mai à élaborer ce schéma de l'algorithme. Deux machines et leurs batteries s'offraient à moi : l'HP-29c de mes études et l'HP-15c LE de mon bureau. Dans la foulée, j'entrai sans erreur le programme pour la seconde ; plus rapide, plus spacieuse et me moquant de son bogue de la pause inexistante, j'assistai ébahi au calcul dont le témoignage était ce running, running, running... une dizaine de fois, puis à l'affichage victorieux du résultat obtenu en moins de sept secondes en partant de la valeur 5 pour aboutir à 5,65390 3923 ! Je pouvais tracer mon schéma !
Bravo Marge pour l’ingéniosité de ta solution ! Il existe plusieurs voies pour gravir une montagne et chacun trouve la sienne pour arriver au sommet.

De mon côté j’ai trouvé comment obtenir avec le CAS de la HP Prime la solution formelle à partir de mes deux équations trigonométriques.
Image

Tout d’abord convertir pour le CAS les deux équations de l’application Solve (passage des variables en minuscules – je suis preneur d’une solution plus simple…), puis isoler cos(b) et sin(b) :
Image Image

Ensuite ajouter les deux équations au carré et simplifier pour éliminer la variable b :
Image Image

Enfin résoudre l’équation obtenue en se limitant aux valeurs positives de a :
Image Image

On peut, pour terminer, retrouver les valeurs numériques avec Shift Enter:
Image

EDIT: avec ces deux programmes CAS utilitaires:

Code : Tout sélectionner

#cas
Isol(eq,var):=
BEGIN
  eq:=var=solve(eq,var)[0];
END;

Home2Cas(var):=
BEGIN
  expr(lower(string(var)));
END;
#end
Les différentes opérations menant au résultat final tiennent sur un écran (il ne manque que le assume(a>0) qui était toujours valide) :
Image

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Marge » 06 mai 2019 14:07

Merci pour vos retours et félicitations pour vos solutions. Il y a quand même de grosses pointures sur ce forum !
3 hommes, 3 demis, un 3a... Magnéto, Serge !

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Ythunder » 06 mai 2019 14:19

Image
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par C.Ret » 06 mai 2019 19:35

Excellant, à l'élève qui me répond "il est là", je donne un 20/20.

En effet, "Trouver x" ne veut pas dire, " Déterminez la longueur du coté du triangle marqué d'une x "
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par rogeroge » 07 mai 2019 00:20

Bonsoir.

J'ai trouvé ce document intéressant pour résoudre la question de géométrie avec les propriétés des quadrilatères orthodiagonales :
http://jurzak.perso.math.cnrs.fr/geomet ... ateres.pdf
Cependant, je n'ai pas d'avancée par rapport aux résultats précédents.
Quadri2.jpg
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par gege » 07 mai 2019 00:43

Bonjour,
Super intéressant !

Comme l'aire du quadrilatère est la moitié de l'aire du carré,
la formule donne (a étant le côté du carré) :
a²=1/2.sqrt(4.AC².BD²−(AB²−BC²+CD²−DA²)²)
Or AC = BD = a
Soit
a²=1/2.sqrt(4.a^4−(5²−3²+4²−18)²)
Donc : 4.a^4=4.a^4

Mmmmm :-(
Ben non...
G.E.

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par rogeroge » 07 mai 2019 13:27

Normal Gege, le terme entre parenthèses vaut zéro quand les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires.

Ceci écrit, une solution réalisée avec un logiciel de DAO (DraftSight ou Autocad) confirme le résultat trouvé
à partir du dessin du carré enveloppe.
Il a fallu un minimum d'une vingtaine d'entrées à réitérer pour obtenir une précision acceptable à 0,001 près et
donc loin de la précision des machines.

Comme j'ai transformé la figure en quadrilatère orthodiagonal, je me suis aperçu qu'il n'est pas inscriptible dans un cercle.
Cela dissuade d'utiliser des formules mathématiques toutes prêtes à l'emploi...
Quoique si elles sont utilisées, par chance pour ces données et non pas par exactitude, l'erreur n'est que de 0,003...
Mais c'est faux mathématiquement !

Je reconnais que la solution DAO, relève du bricolage tout en ne répondant pas aux consignes du problème tel que posé.
Il s'agit plus d'une solution pragmatique que d'une rigueur mathématique.

Mais ça fonctionne ! :lol:

Je vais tenter de persévérer pour trouver une solution par le quadrilatère (non inscriptible) orthogonal.
Il faut aussi trouver le temps avec ce moi de mai festif... 8)
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Gilles59 » 08 mai 2019 16:08

A propos de géomètrie, je sais qu'il existe une ROM non officielle pour les HP49-50 produit par Bernard Parisse (XCAS) qui contient une application de géométrie assez puissante (et un tableur). J'ai bien trouvé la doc, mais pas moyen de trouver la ROM. Si quelqu'un sait où je peux trouver ça. Comme j'ai une 49G+ en spare j'aurai bien testé ;D
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par zpalm » 08 mai 2019 18:44


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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par rogeroge » 09 mai 2019 02:11

Je reviens sur ma précédente formulation liée à l'exploitation d'un quadrilatère pseudo-carré.
Voici le scénario en images :
Fig. 1 - Données avec dessin de 4 rectangles avec diagonales en rouge
Fig. 2 - Création du quadrilatère pseudo carré en noir par ajout des autres diagonales des rectangles
Fig. 3 - Obtention d'un carré en vert par liaison des milieux des diagonales
La dimension du côté du carré en vert vaut la moitié de celle du carré enveloppe en rouge
quad1.jpg
quad1.jpg (22.92 Kio) Consulté 981 fois
Fig. 4 - Tracé des 3 cercles aux sommet du carré vert :
Centre milieu de EC et de diamètre EC=3
Centre milieu de EB et de diamètre EB=4
Centre milieu de EA et de diamètre EC=5
Formule générale applicable à deux cercles de rayons "r" et "R", de distance entre centres "a", sécants en deux points,
la ligne joignant les 2 points sécants interceptant la ligne des centre en un point distant du centre du cercle de rayon "r" à une distance "d" :
d = ( a² + r² - R² ) / 2a
d1 = ( a² + 2² - 2,5² ) / 2a = ( a² - 2,25 ) / 2a
d2 = ( a² + 1,5² - 2² ) / 2a = ( a² - 1,75 ) / 2a
Application du théorème de Pythagore : d1² + d2² = ( EC / 2 )²
(( a² - 2,25 ) / 2a )² + (( a² - 1,75 ) / 2a )² = 1,5²
a^4 - 4,50a^2 + 5,0625 + a^4 -3,50a^2 + 3,065 = 2,25 x 4a^2
2a^4 - 17a^2 + 8,125 = 0
==> deux racines dont une cohérente : a² = 7,991657...
==> a = 2,8269519 (l'autre valeur négative rejetée)
Le côté du carré vaut 2a ==> AB = BC = CD = AD = 5,6539039
Pièces jointes
quad2.jpg
quad2.jpg (16.83 Kio) Consulté 981 fois
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par rogeroge » 10 mai 2019 00:19

Voici un dessin qui représente les justes proportions :
quad3.jpg
quad3.jpg (18.68 Kio) Consulté 956 fois
Vérification de d1 avec les cercles de diamètres DE = 4,242640... et CE = 3 et d2 avec les cercles de diamètres DE et AE = 5
d = ( a² + r² - R² ) / 2a
d1 = ( a² + 1.5² - 2,1213203² ) / 2a = ( a² - 2,25 ) / 2a
d2 = ( a² + 2,1213203² - 2,5² ) / 2a = ( a² - 1,75 ) / 2a
Les valeurs de d1 et d2 restent les mêmes que ci-avant avec des cercles sécants différents
==> la dimension du coté du carré en rouge = 5,6539039
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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par Marge » 10 mai 2019 02:09

Bonsoir, rogeroge,
J'avais essayé avec Geogebra d'obtenir une figure semblable, sans succès... Bravo !
3 hommes, 3 demis, un 3a... Magnéto, Serge !

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Re: La question (de géométrie) du dimanche soir

Message par rogeroge » 10 mai 2019 03:29

Marge a écrit :
10 mai 2019 02:09
Bonsoir, rogeroge,
J'avais essayé avec Geogebra d'obtenir une figure semblable, sans succès... Bravo !
Geogebra constitue un outil mathématique très puissant d'après maints avis.
De plus, il est gratuit. Je ne le connais pas et le découvre à l'instant.
Pour les tracés, il fonctionne probablement comme les logiciels de DAO classiques (AutoCad en particulier)
Pour la construction de la figure, il faut partir du principe que les dimensions utiles sont déjà
calculées et donc connues sinon, il faut opérer par approches successives mais cela prend du temps.
Comme tout outil à manipuler, un apprentissage est nécessaire... Je vais tenter de l'expérimenter.
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