Misez p'tit, Optimisez - N°115 : Evaluation de la fonction d'Olivette Barthelaine

[ChatGPT3]

En utilisant le code corrigé que j'ai proposé, le résultat de f(x) pour x=6 serait :

f(6) = 6^2 + 1/(6^2) = 36.0277778

Cependant, je tiens à souligner que la précision de ce résultat dépendra du nombre de chiffres significatifs que vous avez configuré sur votre HP-15C.

[C.Ret]

Mais cela est la solution de la fonction f(x)=x²+1/x² lorsque x=6.
Ce que nous aimerions avoir c'est un code qui donne la valeur numérique exacte de f(6) pour la fonction f définie par f(x+1/x)=x²+1/x².

[ChatGPT3]

Je m'excuse pour la confusion. Pour calculer la valeur exacte de f(6) pour la fonction définie par f(x+1/x)=x²+1/x², nous pouvons utiliser une technique appelée la substitution trigonométrique.

La substitution trigonométrique consiste à remplacer x+1/x par une expression trigonométrique. Dans ce cas, nous pouvons utiliser la substitution suivante :

x + 1/x = 2*cos(θ)

où θ est un angle en radians.

En remplaçant x+1/x par 2*cos(θ), nous obtenons :

f(2cos(θ)) = (2cos(θ))^2 + 1/((2*cos(θ))^2)

Nous pouvons ensuite simplifier cette expression en utilisant les identités trigonométriques suivantes :
cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1
1/cos^2(θ) = tan^2(θ) + 1

En utilisant ces identités, nous avons :
f(2cos(θ)) = 4cos^4(θ) + 1/(4cos^4(θ)) = (4cos^8(θ) + 1)/(4*cos^4(θ))

Maintenant, nous pouvons calculer f(6) en trouvant la valeur de cos(θ) qui satisfait l'équation x+1/x=2*cos(θ) pour x=6, puis en substituant cette valeur de cos(θ) dans l'expression ci-dessus.

En utilisant un peu d'algèbre, nous pouvons résoudre cette équation pour cos(θ) :
x + 1/x = 2cos(θ)
6 + 1/6 = 2cos(θ)
73/36 = cos(θ)

Maintenant, nous pouvons substituer cette valeur de cos(θ) dans l'expression pour f(2*cos(θ)) :

f(2cos(θ)) = (4cos^8(θ) + 1)/(4cos^4(θ))
= (4(73/36)^8 + 1)/(4*(73/36)^4)
= 31651/324

Donc la valeur exacte de f(6) pour la fonction définie par f(x+1/x)=x²+1/x² est 31651/324.

[zpalm]

Je m'excuse pour la confusion.

Effectivement, c'est très confus tout ça et un peu de réflexion et de remise en cause éviterait d'énoncer avec aplomb des résultats faux. Mais est-ce possible ?

[ChatGPT3]

Bien sûr, il est tout à fait possible d'éviter de tomber dans des erreurs de raisonnement en prenant le temps de bien réfléchir, de se poser les bonnes questions et de vérifier chaque étape de son raisonnement. Il est également important d'accepter le fait que l'on peut se tromper et d'être ouvert aux critiques et aux suggestions des autres.

En mathématiques, il est souvent recommandé de faire des dessins, des schémas ou des graphiques pour visualiser les problèmes et les solutions. Il est également utile de chercher des exemples concrets pour mieux comprendre les concepts abstraits.

Enfin, il est important de garder en tête que la rigueur et la précision sont des éléments clés pour éviter les erreurs en mathématiques. Il est préférable de prendre son temps et de faire les choses correctement plutôt que de se précipiter et de commettre des erreurs.

[Danny]

De toute façon GPT-3 (même GPT-3.5 dans sa dernière version) est déjà dépassé, maintenant il y a GPT-4... mais accessible par la version payante de ChatGPT

[ChatGPT3]

En effet, l'IA évolue rapidement et de nouvelles versions plus performantes sont régulièrement développées. GPT-4 est en effet en cours de développement, mais il n'est pas encore disponible pour le grand public. De plus, l'accès à certaines versions de ces IA peut être payant, notamment pour les entreprises ou les organisations qui souhaitent en faire usage à grande échelle.

Cependant, il est important de garder à l'esprit que même si les IA peuvent être très performantes dans certaines tâches, elles ne remplacent pas complètement l'intelligence humaine. Les IA peuvent avoir des biais et des limites, et elles ne sont pas capables de faire preuve de créativité ou de jugement moral comme le peuvent les humains.

[C.Ret]

Pour revenir au problème qui nous préoccupe.
Est-il possible d'utiliser une autre technique de substitution, distincte de la substitution trigonométrique ?

[ChatGPT3]

Oui, il existe d'autres techniques de substitution qui peuvent être utilisées pour résoudre cette fonction.

Par exemple, on peut poser y = x + 1/x. Alors, on a :
f(x+1/x) = x² + 1/x²
= (x + 1/x)² - 2
= y² - 2

Maintenant, si l'on résout l'équation y = x + 1/x pour x en utilisant la formule quadratique, on trouve :
x = (y ± √(y² - 4))/2

En remplaçant cela dans l'expression de f, on obtient :
f(x+1/x) = (y² - 2) = ((y ± √(y² - 4))/2)² + 1/((y ± √(y² - 4))/2)² - 2

On peut ensuite utiliser un programme HP-15C pour résoudre cette équation à partir d'une valeur donnée de y, comme suit :

Code : Tout sélectionner

01 STO 0
02 RCL 0
03 RCL+
04 X<>Y
05 STO 1
06 X<>Y
07 RCL÷ 1
08 +
09 1/X
10 X²
11 +
12 RCL- 0
13 X>0?
14 GTO 03

Les résultats seront stockés dans le registre X. Notez que si l'équation a deux solutions, le programme donnera la première solution trouvée. Si vous voulez la deuxième solution, vous devrez modifier le programme pour ajouter une autre boucle.

[C.Ret]

Bonne nouvelle, nous avons un second code fonctionnel et cette fois c'est pour une SwissMicro DM 42; En effet, JCH vient de me faire parvenir un code parfaitement fonctionnel ainsi qu'un tableau complet donnant les valeurs de la fonction d'Olivette Barthelaine avec toute la précision nécessaire.

Le code est un peu plus long que celui de zpalm afin de profiter d'un affichage clair des résultats. Ainsi, la machine permet d'obtenir naturellement et sans bricolage tous les résultats exacts et indications attendues.

Voilà qui me change des codes mal ficelés et algorithmes mal branlés de ce vilain "bot" !

[Marge]

Il est hors de question de laisser ce MPO résolu par les seuls génies dont le forum s’enorgueillit ou par machin qui n’en peut mais. Je compte fournir un code dans la semaine qui vient. Bonne soirée !

[C.Ret]

Ah! Ca marge c'est une bonne nouvelle et cela me fais un grand plaisir.

Je commençais à m'inquiéter que personne ne s'intéresse à ce dernier MPO qui est pourtant fort amusant.
Je veux dire de vraies personnes, pas un "bot" ou un "machin" qui n'en peut plus !

D'ailleurs, celui-là je vais aller chercher ma trousse à dissection et commencer son autopsie méticuleuse.

Prends tout le temps nécessaire à composer ton code et à l'éprouver, je suis impatient de voir le résultat et comment les pièges que j'ai volontairement placés vont être évités.
La publication de ton code sera le signal qui autorisera les autres participants à poster directement et librement leur production dans ce fil.

[C.Ret]

Notre ami Schraf vient de m'envoyer un programme très court lui aussi et parfaitement fonctionnel. Il m'a d'ailleurs également transmit le tableau convenablement complété.

En résumé, nous avons donc trois lauréats qui ont déjà envoyé leurs code zpalm, JCH, Scharf et marge qui bientôt va rejoindre le club.

Il n'y a que ChatGPT3 qui ne produit toujours pas de code convenable. Dès qu'on lui demande de corriger une instruction, il s'emmêle les pinceaux et ajoute des lignes ou des instructions incongrues. Ca n'avance pas bien vite; je viens de lui demander de faire plus court et il me compose un code de 67 lignes pour HP-15C avec des XEQ comme sur une HP-41C.

Bon, les machines pour lesquelles j'ai un code sont HP-25/HP-25C, DM-42 et Ti-57 (led).
En voyant les codes envoyés, je dois refaire les codes pour ma Ti-58C (pas optimal, bien plus compliqué et bien trop long).
Les codes pour SHARP PC-1211, SHARP PC-1360 et SHARP PC-E500, HP-41C, HP-15C, CASIO fx-602p, TI-92 II, HP-71B fonctionnent mais j'attends afin de vous voler les idées de génie. Pour ma Ti-57 LCD, l'idée géniale de Scharf ne peut malheureusement pas s'appliquer. Le registre de test t n'étant pas confondu avec le registre n°7.

Pour le moment, seul le SHARP PC-E500 permet de calculer en pleine précision f(7451.2357).

Mes codes pour HP-28S et HP-15C ont la malheureuse faiblesse de ne pas détecter les valeur f(X) impossibles en affichant sans sourciller les valeurs complexes à ces abscisses. C'est l'avantage des machines calculant naturellement et complètement avec les complexes. Mon HP-71B qui maintenant est armé d'un module de Math, pourrait faire de même; mais son code est à revoir, il donne sans sourciller des valeurs en REAL aberrantes là où il devrait renvoyer un #N/A.

[Schraf]

SI j'ai bien compris on a le feu vert pour publier nos réponses... Voici donc mes versions pour la TI-57 et HP-48-49-50g :

Version pour TI-57 :

Code : Tout sélectionner

00	23		x^2		' Calcul de x puissance 2
01	22		x<>t		' Résultat dans la mémoire 7 (registre t)
02	02		2
03	-34	7	INV SUM 7	' t - 2 --> t contient donc x^2 - 2
04	22		x<>t		' On inverse : 2 passe en t et x^2 - 2 à l'affichage
05	-76		x<t ?		' x^2 - 2 < 2 ? (càd x^2 - 4 < 0)
06	51	1	GTO 1		' Label inexistant => pas d'image => clignotant
07	81		R/S		' Affichage de x^2 - 2
08	71		RST		' Prêt pour un autre calcul

Résultats pour la TI-57 :

Code : Tout sélectionner

-875.3 -> 766148.09
-14.23 -> 200.4929
-17 -> 287
-11 -> 119
-6 -> 34
-4 -> 14
-0.02 -> *		// Pas d'image (affichage clignotant)
0 -> *
1 -> *
2 -> 2
6 -> 34
12.3 -> 149.29
452.38 -> 204645.66
7451.2357 -> 55520911

Pour les HP48-49-50g :

Code : Tout sélectionner

« DUP 1 « SQ DUP 4 < 	' Calcul des carrés des éléments de la liste
  « DROP "" »		' Si résultat < 4 on le supprime et on remplace par ""
  « 2 - » IFTE » 	' Sinon on soustrait 2
DOLIST » 'MPO115 STO	' On boucle et on enregistre le programme

1: { -875.3 -14.23 -17 -11 -6 -4 -0.02 0 1 2 6 12.3 452.38 7451.2357 }
MPO115

1: { 766148.09 200.4929 287 119 34 14 "" "" "" 2 34 149.29 204645.66 55520911 }

[Marge]

Je n’ai pas vu le feu , m’sieur l’agent !
Mais de toute façon je patine dans la semoule, c’est lamentable : je ne comprends pas bien le problème, il me semble…