La pente est de la forme 1/u(n), c'est facile à démontrer; il suffit d'étudier des valeurs consécutives de la série
Sn.
Ainsi, par exemple pour
S3996 à
S4004, on constate les incréments de 1/8-ième entre chaque terme de la série; les valeurs croissent donc bien de façon linéaire et la pente de cette droite de croissance est bien
∆y/∆x = 1/8.
n | 3996 | 3997 | 3998 | 3999 | 4000 | 4001 | 4002 | 4003 | 4004 |
Sn | 671 | 671.125 | 671.25 | 671.375 | 671.5 | 671.625 | 671.75 | 671.875 | 672 |
---|
La courbe de
Sn est donc une succession de droites dont la pente est
1/u(n);
Comme le sous-entend de la tableau de
Schraf, la cassure entre deux droite de pentes différente se fait justement au moment où l'on passe d'une valeur u(x) plus proche de l'entier inférieur vers une valeur de u(x) plus proche de l'entier supérieur.
Cherchons les
x tels que
∜x correspond à un demi-entier. Ces valeurs x seront donc les frontières entre chaque droite constituant la courbe de la série
Sn.
Par exemple, cherchons:
x1 tels que
∜x1 = 1.5 c'est à dire
x1 = (3/2)⁴ soit
x1 = 81/16 ≈ 5.0625.
x2 tels que
∜x2 = 2.5 c'est à dire
x2 = (5/2)⁴ soit
x2 = 625/16 ≈ 39.0625.
x3 tels que
∜x3 = 3.5 c'est à dire
x3 = (7/2)⁴ soit
x3 = 2401/16 ≈ 150.0625.
x4 tels que
∜x4 = 4.5 c'est à dire
x4 = (9/2)⁴ soit
x4 = 6561/16 ≈ 410.0625.
x5 tels que
∜x5 = 5.5 c'est à dire
x5 = (11/2)⁴ soit
x5 = 14641/16 ≈ 915.0625.
x6 tels que
∜x6 = 6.5 c'est à dire
x6 = (13/2)⁴ soit
x6 = 28561/16 ≈ 1785.0625.
x7 tels que
∜x7 = 7.5 c'est à dire
x7 = (15/2)⁴ soit
x7 = 50625/16 ≈ 3165.0625.
x8 tels que
∜x8 = 8.5 c'est à dire
x8 = (17/2)⁴ soit
x8 = 83521/16 ≈ 5220.0625.
Etc.
Donc pour n=1, 2,3,4 et 5 on a ∜n < 1.5 et donc
u(n)=1. La série suit une pende de 1 .
Puis dès n = 6, 7, 8 .. 39 . ∜n > 1.5 et donc
u(n)=2. La série suit une pente de 1/2.
Et ainsi de suite n = 40, 41, 42, ..., 150 on a ∜n > 2.5 et donc
u(n)=3. La série suit une pente de 1/3
Etc.
Ainsi,
Pour
n dans l'intervalle [ 1 ; 5 ] on a
u(n)=1 et les points de
Sn sont sur la droite D1 d'équation
S(n) = 0 + n/1.
Pour
n dans l'intervalle [ 6 ; 39 ] on a
u(n)=2 et les points de
Sn sont sur la droite D2 d'équation
S(n) = 2.5 + n/2.
Pour
n dans l'intervalle [ 40 ; 150 ] on a
u(n)=3 et les points de
Sn sont sur la droite D3 d'équation
S(n) = 9 + n/3.
Pour
n dans l'intervalle [ 151 ; 410 ] on a
u(n)=4 et les points de
Sn sont sur la droite D4 d'équation
S(n) = 21.5 + n/4.
Pour
n dans l'intervalle [ 411 ; 915 ] on a
u(n)=5 et les points de
Sn sont sur la droite D5 d'équation
S(n) = 42 + n/5.
Pour
n dans l'intervalle [ 916 ; 1785 ] on a
u(n)=6 et les points de
Sn sont sur la droite D6 d'équation
S(n) = 72.5 + n/6.
Pour
n dans l'intervalle [ 1786 ; 3164 ] on a
u(n)=7 et les points de
Sn sont sur la droite D7 d'équation
S(n) = 115 + n/7.
Pour
n dans l'intervalle [ 3165 ; 5220 ] on a
u(n)=8 et les points de
Sn sont sur la droite D8 d'équation
S(n) = 171.5 + n/8.
Pour
n dans l'intervalle [ 5221 ; 8145 ] on a
u(n)=9 et les points de
Sn sont sur la droite D9 d'équation
S(n) = 244 + n/3.
Pour
n dans l'intervalle [ 8146 ; 12155 ] on a ...
ETC.
Ce qui forme le tableau de
Scharf ou mon graphique en couleur avec indiquée les régions des valeurs entières de u(x).
Si déterminer la pente ne me pose aucun problème. Je suis sec pour déterminer la valeur de l'ordonnée à l'origine de ces droites successives. Je suis preneur pour toutes démonstrations ou indications concernant le calcul dans le cas général.
Heureusement, en utilisant les méthodes de statistique et les régressions linéaires, ces ordonnées à l'origine sont déterminées exactement car on obtient des coefficients R² = 1. En effet, il s'agit bel et bien de droites, la régression n'est donc pas une approximation (même si la détermination utilise la méthode des moindres carrés).
Ensuite, une fois que l'on a assez d'ordonnées
bn à l'origine successives de ces droites, un peu d'algèbre linéaire permet de trouver (par exemple par la méthode du pivot de Gauss) les paramètre
a,
b,
c et
d tels que
a.n³+b.n²+c.n+d = bn.
Code : Tout sélectionner
N^3 N^2 N^1 N^0 ORDONNEE ORIGINE
1 1 1 1 0
8 4 2 1 2,5
27 9 3 1 9
256 16 4 1 21,5
625 25 5 1 42
...
65536 256 16 1 1367,5
...
On trouve alors que les ordonnées à l'origine des droites d'indice u sont de la forme
et la pente
avec
D'où l'expression générale des termes de la série
Sn:
avec
Schraf a écrit : ↑07 mars 2024 19:14Par contre rien compris d'où venait cette formule, il faudrait que je trouve un prof de maths...
J'en ai trouvé un dans
cette vidéo qui justement nous montre comment calculer S1995 sans calculatrice ! Enfin je crois.